1 . 如图，圆内接四边形ABCD中，自AD的中点M,作
，
为垂足.证明:MN过线段EF的中点.
，为垂足.证明:MN过线段EF的中点.
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2 . 求解函数
的最大最小值.
的最大最小值.
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3 . 设直线
与椭圆
交于点M、N，且OM⊥ON（O为原点）.若
,求椭圆的方程．
与椭圆交于点M、N，且OM⊥ON（O为原点）.若,求椭圆的方程．
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4 . 已知在正整数n的各位数字中，共含有
个1，
个2，⋯，
个n．证明：
并确定使等号成立的条件．
个1，个2，⋯，个n．证明：并确定使等号成立的条件．
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2018-12-07更新
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370次组卷
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3卷引用：2016年全国高中数学联赛山西赛区预赛试题
5 . 在△ABC中，M、N分别为边AB、AC上的点，且满足
.证明：线段MN经过△ABC的重心．
.证明：线段MN经过△ABC的重心．
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6 . 如图，
、
、
为
的外接圆
上的点，满足
，P为上的任意一点.若直线
与BC、
与AC、
与AB分别交于点D、E、F，证明:D、E、F三点共线.
、、为的外接圆上的点，满足，P为上的任意一点.若直线与BC、与AC、与AB分别交于点D、E、F，证明:D、E、F三点共线.
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7 . 若集合
的子集A中的每个元素均可表为两个自然数（允许相同）的平方和，求集合A中元素个数的最大值.
的子集A中的每个元素均可表为两个自然数（允许相同）的平方和，求集合A中元素个数的最大值.
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2014高三·山西·竞赛
8 . 数列
、
满足条件
，
，
.
证明：对每个正整数
，均有（1）
，
；（2）
.
、满足条件，，.证明：对每个正整数
，均有（1），；（2）.
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2014高三·山西·竞赛
9 . 如图，已知
的内切圆与边
切于点
，
、
分别为
、
的内心.证明：
.
的内切圆与边切于点，、分别为、的内心.证明：.
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