1 . 设整数，对于任一排列，记，求 的值，并计算取到最小值时排列的数目.

2 . ，求所有的，使得中有无穷多项为正整数.

3 . 是从中随机抽取3个不同的数排列出的最大的三位数，是从中随机抽取3个不同的数排列出的最大的三位数.求的概率.

4 . 将正整数填入方格表中，每个小方格恰好填1个数，要求每行从左到右10个数依次递减，记第行的10个数之和为. 设满足：存在一种填法，使得均大于第列上的10个数之和，求的最小值.

5 . 求所有正整数，满足正边形能内接于平面直角坐标系中椭圆.

6 . 校乒乓球锦标赛共有位运动员参加.第一轮，运动员们随机配对，共有场比赛，胜者进入第二轮，负者淘汰.第二轮在同样的过程中产生名胜者.如此下去，直到第n轮决出总冠军.实际上，在运动员之间有一个不为比赛组织者所知的水平排序，在这个排序中最好，次之，…，最差.假设任意两场比赛的结果相互独立，不存在平局，且，当与比赛时，获胜的概率为p，其中
(1)求最后一轮比赛在水平最高的两名运动员与之间进行的概率.
(2)证明：，为总冠军的概率大于为总冠军的概率.

7 . 双五棱锥是由两个侧面均为边长为1的正三角形的五棱锥上下拼接而成的，如图所示.

(1)求双五棱锥的内切球半径；
(2)求分别位于拼接面(正五边形)两侧的相邻的两个正三角形构成的二面角的余弦值.

8 . 在四面体中，为中点，为外接球的球心，.
(1)证明：；
(2)若，求四面体体积的最大值.

9 . 从1，2，⋯，2024中任取两数(可以相同)，则个位为的概率

10 . A，B，C为内角，x，y，z为实数,求以下三式中恒成立的个数.