1 . 已知椭圆，点在椭圆上，如图，用表示椭圆在点处切线的单位向量．

(1)设，求的最大值；
(2)是否存在定圆，使得圆的任一切线与的交点满足，若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由

2 . 如图①是一个小箱子放在桌面上的示意图，这部分可弯曲，在弯曲时形成一段圆弧，设圆弧所在圆的圆心为，线段，均与圆弧相切，点，分别为切点，小箱子盖面与桌面平行，此时距离桌面14cm，已知的长为10cm，的长为25.2cm.
   
(1)如图①，求弧的长度（结果保留）；
(2)如图②，若小箱子打开后弧所对的圆心角度数为60°，求小箱子顶端到桌面的距离（结果保留一位小数）.（参考数据：）

3 . 某学校在大课间举行跳绳活动，为此学校准备购置长、中、短三种跳绳若干，要求中跳绳的条数是长跳绳的2倍，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍.已知长跳绳单价是20元，中跳绳的单价是15元，短跳绳的单价是8元.
(1)若学校准备用不超过2300元的现金购买200条长、中、短跳绳，问学校有几种购买方案可供选择?
(2)若学校准备恰好用3000元的现金购买条长、中、短跳绳，求的最大值.

4 . 如图，在矩形中，，，点，在对角线上，且，过点作于点，连接，以、为邻边作平行四边形，设.
   
(1)若时，求此时的长；
(2)若点，，在同一直线上时，求此时的值；
(3)若经过点的直线将矩形的面积平分，同时该直线将平行四边形的面积分成1：3的两部分，求此时的值.

5 . 如图所示，已知A，B都是函数图象上的点，而且函数图象是连接A，B两点的连续不断的线，画出3种的可能的图象. 判断是否一定存在零点，总结出一般规律.

6 . 在以下三个条件中任选一个，求在这个条件下函数，的值域.
①函数的定义域为；
②函数的定义域为集合，集合，集合；
③函数的定义域为.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

7 . 某城市在某一年里各月份毛线的零售量(单位：百千克)关于月份的函数关系如下表所示：

月份	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
零售量	91	90	60	50	10	9	8	8	81	92	93	99

(1)求该函数的值域；
(2)指出上半年(1月至6月)该函数的单调性．

8 . 有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果.已知两区初始显示的分别是和，如图，第一次按键后，两区分别显示：

(1)从初始状态按2次后，分别求两区显示的结果；
(2)从初始状态按4次后，计算两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由.

9 . 为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查.要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果.现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

(1)这次活动共抽查了__________人.
(2)将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数.
(3)张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率.

10 . 实践操作：
第一步：如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平.
第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，得到折痕交于点交于点，再把纸片展平.

问题解决：
(1)如图1，填空：四边形的形状是__________.
(2)如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；
(3)如图2，若，求的值.