1 . 数学课上，张老师给出这样一个问题：
已知，如图，正方形中，点是边上一点，作射线，过点作于点，交的延长线于点，连接．求证：．

(1)小明和小颖根据题中的条件发现：图1中存在和相等的角，即_________；
(2)在证明结论时，小明和小颖有了不同的思路．
小颖：我受结论中“”的启发，可在线段上截取，再证…．
小明：我受结论中“”的启发，可构造一个以为直角边的等腰直角三角形…
请从小明和小颖的思路中任选一种作出辅助线并给出证明；
(3)张老师对问题进行了拓展；如图2，点，分别是线段，的中点，若，，则的长度为_________．

2 . 把抛物线沿轴向下平移得到抛物线.
(1)当时，过抛物线上一点作切线，交抛物线于，两点，求证：；
(2)抛物线上任意一点向抛物线作两条切线，从左至右切点分别为，.直线交从左至右分别为，两点.试判断与的大小关系，并证明.

3 . 我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与重直于点足够长．使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则就把三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．

已知：如图2，点在同一直线上，垂足为点，             
求证：             

4 . 世界近代三大数学难题之一哥德巴赫猜想于年由哥德巴赫在给欧拉的信中提出：任一大于的偶数都可写成两个奇素数之和这个猜想至今没有完全证明，目前最前沿的成果是年我国数学家陈景润证明了“”，即他证明了任何一个充分大的偶数，都可以表示为两个数之和，其中一个是素数，另一个或为素数，或为两个素数的乘积，被称为“陈氏定理”我们知道素数又叫质数，是指在大于的自然数中，除了和它本身以外，不能被其他自然数整除的数请问同学们，如果我们从不大于的自然数中任取两个不同的数，这个两个数都是素数有多少种不同的情况？（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 如图，已知为半圆O的直径，点P为直径上的任意一点.以点A为圆心，为半径作，与半圆O相交于点C；以点B为圆心，为半径作，与半圆O相交于点D，且线段的中点为M.求证：分别与和相切.
   

6 . 如图，扇形的半径为1，圆心角是90°.点是上一动点，于点，于点，点、、、分别是线段、、、的中点，与相交于点，与相交于点.
   
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)探索当的长为何值时，四边形是矩形；
(3)连结，试说明是定值.

7 . 已知实数，满足，.当时，求证：.

8 . 已知点和直线，则点到直线的距离证明可用公式计算．
例如：求点到直线的距离．
解：直线，其中，．
点到直线的距离为：．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)求点到直线的距离；
(2)已知⊙的圆心坐标为，半径为，判断⊙与直线的位置关系，并说明理由：
(3)已知直线与平行，求这两条直线之间的距离．

9 . 如图为等腰三角形，是底边上的高，点是线段上的一点，和分别是和的外接圆的直径，连接，求证：.
   

10 . 如图（1），抛物线经过，两点，并与直线（为常数，且）交于、两点，直线过点且平行于轴，过、两点分别作直线的垂线，垂足分别为点、.
   
(1)求此抛物线的解析式；
(2)猜想与证明：
①______     ______（填“>”“<”或“=”）
②为______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）并证明你的猜想
(3)如图（2）点为坐标平面内一点，点是抛物线上任意一点，求周长最小值，并求出此时点坐标.