1 . 下图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小明完成以下学习任务．
如图，OC平分，点P在OC上，M、N分别是、OB上的点，，求证：．
小明的思考：要证明，只需证明即可．
证法：如图①：∵OC平分，∴，
又∵，，∴，
∴；
请仔细阅读并完成以下任务：

(1)小明得出的依据是______（填序号）．
①SSS             ②SAS             ③AAS             ④ASA             ⑤HL
(2)如图②，在四边形ABCD中，，的平分线和的平分线交于CD边上点P，求证：．
(3)在（2）的条件下，如图③，若，，当△PBC有一个内角是45°时，的面积是______．

2 . 已知函数．
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当时．
（i）求证：函数在上单调递增；
（ii）设区间（其中），证明：存在实数，使得函数在区间I上总存在极值点．

3 . 请阅读下列材料，并完成相应的任务．
战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的部分证明过程：
证明：①如图1，AB与相切于点A．当圆心O在弦AC上时，容易得到，所以弦切角．
②如图2，AB与相切于点A．当圆心O在的外部时，过点A作直径AF交于点F，连接FC．
∵AF是直径，∴，∴．
∵AB与相切于点A，∴，∴，∴．

(1)如图3，AB与相切于点A，当圆心O在的内部时，过点A作直径AD交于点D，在上任取一点E，连接EC，ED，EA，求证：；
(2)如图3，已知的半径为1，弦切角，求的长．

4 . 如图，，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，过的平面与交于点，若，点在圆上，.
   
(1)求证：平面；
(2)若，，求三棱锥的体积.

5 . 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，点（）在椭圆上，若点，分别在直线，上.
(1)求的值；
(2)连接并延长交椭圆于点，求证：，，三点共线.

6 . 有一正方形景区，所在直线是一条公路，该景区的垃圾可送到位于点的垃圾回收站或公路上的流动垃圾回收车，于是，景区分为两个区域和，其中中的垃圾送到流动垃圾回收车较近，中的垃圾送到垃圾回收站较近，景区内和的分界线为曲线，现如图所示建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为．

(1)求景区内的分界线的方程；
(2)为了证明与的面积之差大于1，两位同学分别给出了如下思路，思路①：求分界线在点处的切线方程，借助于切线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明；思路②：设直线：，分界线恒在直线的下方（可以接触），求的最小值，借助于直线与坐标轴及景区边界所围成的封闭图形面积来证明．请选择一个思路，证明上述结论．

7 . 已知函数，．
(1)当时，求证：．
(2)令，若的两个极值点分别为m，n（m<n）．
①当时，求曲线在，处的切线方程（为的导函数）；
②求证：．

8 . 如图所示，过原点O作两条互相垂直的线OA，OB分别交抛物线于A，B两点，连接AB，交y轴于点P．


(1)求点P的坐标；
(2)证明：存在相异于点P的定点T，使得恒成立，请求出点T的坐标，并求出面积的最小值．

9 . 设是两个数列，为直角坐标平面上的点.对三点共线.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足:，其中是第三项为8， 公比为 4的等比数列. 求证: 点列在同一条直线上;
(3)记数列的前项和分别为和，对任意自然数，是否总存在与相关的自然数，使得? 若存在，求出与的关系，若不存在，请说明理由.

10 . 已知函数的图像记为曲线．
(1)过点作曲线的切线，这样的切线有且仅有两条．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若点在曲线上，对任意的，求证：．
(2)若对恒成立，求的最大值．