名校
1 . 如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得
，连接BE．
(1)证明：
；
(2)延长BE至F，使
，连接CF，求证：
．
，连接BE． (1)证明：
；(2)延长BE至F，使
，连接CF，求证：．
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2 . 对任意正整数n，记集合
，
．
，
，若对任意
都有
，则记
．
(1)写出集合
和
；
(2)证明：对任意
，存在
，使得；
(3)设集合
．求证：
中的元素个数是完全平方数．
，．，，若对任意都有，则记．(1)写出集合
和；(2)证明：对任意
，存在，使得；(3)设集合
．求证：中的元素个数是完全平方数．
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2023-11-15更新
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164次组卷
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4卷引用：北京市第八十中学2023届高三上学期开学考试数学试题
3 . 数学课上，张老师给出这样一个问题：
已知，如图，正方形
中，点
是
边上一点，作射线
，过点
作
于点
，交
的延长线于点
，连接
．求证：
．
(1)小明和小颖根据题中的条件发现：图1中存在和
相等的角，即_________；
(2)在证明结论时，小明和小颖有了不同的思路．
小颖：我受结论中“
”的启发，可在线段
上截取
，再证
…．
小明：我受结论中“
”的启发，可构造一个以
为直角边的等腰直角三角形…
请从小明和小颖的思路中任选一种作出辅助线并给出证明；
(3)张老师对问题进行了拓展；如图2，点
，
分别是线段，
的中点，若
，
，则
的长度为_________．
已知，如图，正方形
中，点是边上一点，作射线，过点作于点，交的延长线于点，连接．求证：．(1)小明和小颖根据题中的条件发现：图1中存在和
相等的角，即_________；(2)在证明结论时，小明和小颖有了不同的思路．
小颖：我受结论中“
”的启发，可在线段上截取，再证…．小明：我受结论中“
”的启发，可构造一个以为直角边的等腰直角三角形…请从小明和小颖的思路中任选一种作出辅助线并给出证明；
(3)张老师对问题进行了拓展；如图2，点
，分别是线段，的中点，若，，则的长度为_________．
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4 . 如图， 在三棱锥 
中，已知 
是正三角形，
平面 
，
，为的中点，在棱
上，且
.
(1)求三棱锥的体积;
(2)求证：平面
平面
；
(3)若为
中点， 是否存在 在棱上，
，且
平面? 若存在，求
的值并说明理由;若不存在，给出证明.
中，已知 是正三角形，平面 ，，为的中点，在棱上，且.(1)求三棱锥
的体积;(2)求证：平面
平面；(3)若
为中点， 是否存在 在棱上，，且平面? 若存在，求的值并说明理由;若不存在，给出证明.
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解题方法
5 . 证明以下结论：
(1)已知
，求证：
；
(2)若
均为实数且
．求证：中至少有一个大于0．
(1)已知
，求证：；(2)若
均为实数且．求证：中至少有一个大于0．
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名校
解题方法
6 . 如图所示，四棱锥
的底面是边长为1的正方形，
，E为
上一点，
.
(1)求证：
平面；
(2)在侧棱
上是否存在一点F，使得
平面
？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由.
的底面是边长为1的正方形，，E为上一点，.(1)求证：
平面；(2)在侧棱
上是否存在一点F，使得平面？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由.
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2022-09-15更新
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1841次组卷
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5卷引用：黑龙江省哈尔滨市第九中学2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题
7 . 如图①，在直角梯形中，
,将
沿折起，使平面
平面
，得到三棱锥，如图②所示．
(1)若E为
的中点，试在线段上找一点F，使
平面，并加以证明；
(2)求证：平面
平面
；
(3)求三棱锥
的体积．
中，,将沿折起，使平面平面，得到三棱锥，如图②所示．(1)若E为
的中点，试在线段上找一点F，使平面，并加以证明；(2)求证：平面
平面；(3)求三棱锥
的体积．
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8 . 已知函数
恰有三个零点
.
(1)求实数
的取值范围；
(2)求证：①
；② 
.（两者选择一个证明）
恰有三个零点.(1)求实数
的取值范围；(2)求证：①
；② .（两者选择一个证明）
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9 . 我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中
与半圆
的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与重直于点
足够长．使用方法如图2所示，若要把
三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点
落在边
上，半圆与另一边
恰好相切，切点为，则
就把三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点
在同一直线上，
垂足为点
，
求证：
与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与重直于点足够长．使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则就把三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点
在同一直线上，垂足为点， 求证：
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解题方法
10 . 已知定义在
上的函数
满足：①当
时，
，②对任意
都有
，③
(1)求
的值.
(2)求证：对任意
(3)证明：在上是增函数.
上的函数满足：①当时，，②对任意都有，③(1)求
的值.(2)求证：对任意
(3)证明：
在上是增函数.
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