1 . 凸四边形的边的中点分别为，求证：.

2 . 已知两个向量，求证：若，则的方向与的方向垂直，反之也成立.

3 . 设在平面内给定一个四边形，分别为的中点，求证：.

4 . 已知向量为非零向量，且
（1）求证：
（2） 若，求与的夹角．

5 . 如图，在直角坐标系中，已知圆：．点，在圆上，且关于轴对称．

（Ⅰ）当点的横坐标为时，求的值；
（Ⅱ）设为圆上异于，的任意一点，直线，与轴分别交于点，，证明：为定值．

6 . 已知过点A（0，1）且斜率为的直线与圆C：相交于M、N两点．
（1）求实数的取值范围
（2）求证：为定值
（3）若O为坐标原点，且，求K值．

7 . 已知椭圆的右焦点为，为短轴的一个端点，且，的面积为1（其中为坐标原点）．

（1）求椭圆的方程；
（2）若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，证明：为定值．

8 . “坐标法”是以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究图形的几何性质的方法，它是解析几何中是基本的研究方法. 请用坐标法证明下面问题：
已知圆O的方程是，点，P、Q是圆O上异于A的两点.
证明：弦PQ是圆O直径的充分必要条件是.