1 . 已知椭圆
，直线
过右焦点
与椭圆交于
、
两点，
的三个顶点均在椭圆上，且
为坐标原点.
（1）小明在计算
的面积的最大值的时候用了如下方法，其中有两处出错，请指出其中的一处错误之处，并说明原因；解答：设
，
，则
，所以的面积的最大值为
.
（2）请给出题目（1）中问题的正确解答；
（3）小明虽然做错了，但这种方法在计算某些题目时会比常规方法便捷些，如求证下面问题，求证：当的重心为原点时，的面积是定值.
，直线过右焦点与椭圆交于、两点，的三个顶点均在椭圆上，且为坐标原点.（1）小明在计算
的面积的最大值的时候用了如下方法，其中有两处出错，请指出其中的一处错误之处，并说明原因；解答：设，，则，所以的面积的最大值为.（2）请给出题目（1）中问题的正确解答；
（3）小明虽然做错了，但这种方法在计算某些题目时会比常规方法便捷些，如求证下面问题，求证：当
的重心为原点时，的面积是定值.
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解题方法
2 . 设平面直角坐标系中的动点
到两定点
、
的距离之和为
，记动点的轨迹为
.
（1）求的方程；
（2）过上的点
作圆
的两条切线，切点为
、
，直线
与
、
轴的交点依次为异于坐标原点的点
、
，试求
的面积的最小值；
（3）过点且不垂直于坐标轴的直线交于不同的两点
、
，线段
的垂直平分线与轴交于点
，线段的中点为
，是否存在
，使得
成立？请说明理由.
到两定点、的距离之和为，记动点的轨迹为.（1）求
的方程；（2）过
上的点作圆的两条切线，切点为、，直线与、轴的交点依次为异于坐标原点的点、，试求的面积的最小值；（3）过点
且不垂直于坐标轴的直线交于不同的两点、，线段的垂直平分线与轴交于点，线段的中点为，是否存在，使得成立？请说明理由.
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3 . 如图所示，在平面直角坐标系
中，点
绕坐标原点逆时针旋转角
至点
．
（1）试证明点的旋转坐标公式：
（2）设
，点
绕坐标原点逆时针旋转角至点
，点再绕坐标原点旋转角至点
，且直线
的斜率
，求角的值；
（3）试证明方程
的曲线
是双曲线，并求其焦点坐标．
中，点绕坐标原点逆时针旋转角至点．（1）试证明点的旋转坐标公式：
（2）设
，点绕坐标原点逆时针旋转角至点，点再绕坐标原点旋转角至点，且直线的斜率，求角的值；（3）试证明方程
的曲线是双曲线，并求其焦点坐标．
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4 . 利用行列式解关于
的二元一次方程组
.
的二元一次方程组.
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2020-03-04更新
|
147次组卷
|
3卷引用：上海市曹杨二中2017-2018学年高二上学期期中数学试题
5 . 矩阵乘法运算
的几何意义为平面上的点在矩阵
的作用下变换成点
，记
，且
.
（1）若平面上的点在矩阵
的作用下变换成点
，求点的坐标；
（2）若平面上相异的两点、在矩阵的作用下，分别变换为点
、
，求证：若点为线段
上的点，则点在的作用下的点
在线段
上；
（3）已知△
的顶点坐标为
、
、
，且△在矩阵
作用下变换成△
，记△与△的面积分别为
与
，求的值，并写出一般情况（三角形形状一般化且变换矩阵一般化）下与的关系（不要求证明）.
的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下变换成点，记，且.（1）若平面上的点
在矩阵的作用下变换成点，求点的坐标；（2）若平面上相异的两点
、在矩阵的作用下，分别变换为点、，求证：若点为线段上的点，则点在的作用下的点在线段上；（3）已知△
的顶点坐标为、、，且△在矩阵作用下变换成△，记△与△的面积分别为与，求的值，并写出一般情况（三角形形状一般化且变换矩阵一般化）下与的关系（不要求证明）.
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6 . 已知
阶方阵
中的各元素均为正数，其中每行成等差数列，每列都是公比为2的等比数列，已知
.
（1）求
和
的值；
（2）计算行列式
和
；
（3）设
，证明：当
是3的倍数时，
能被21整除.
阶方阵中的各元素均为正数，其中每行成等差数列，每列都是公比为2的等比数列，已知.（1）求
和的值；（2）计算行列式
和；（3）设
，证明：当是3的倍数时，能被21整除.
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18-19高二上·上海浦东新·阶段练习
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7 . 设二阶方矩阵
，则矩阵所对应的矩阵变换为：
，其意义是把点变换为点
，矩阵叫做变换矩阵.
（1）当变换矩阵
时，点
、
经矩阵变换后得到点分别是、，求经过点、的直线的点方向式方程；
（2）当变换矩阵
时，若直线上的任意点经矩阵变换后得到的点仍在该直线上，求直线的方程；
（3）若点经过矩阵
变换后得到点，且与关于直线
对称，求变换矩阵.
，则矩阵所对应的矩阵变换为：，其意义是把点变换为点，矩阵叫做变换矩阵.（1）当变换矩阵
时，点、经矩阵变换后得到点分别是、，求经过点、的直线的点方向式方程；（2）当变换矩阵
时，若直线上的任意点经矩阵变换后得到的点仍在该直线上，求直线的方程；（3）若点
经过矩阵变换后得到点，且与关于直线对称，求变换矩阵.
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名校
8 . 在中学阶段，对许多特定的集合（如实数集，平面向量集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容，现设集合由全体二元有序实数对组成，在上定义一个运算，记为
，对于中的任意两个元素
，
，规定：
.
（1）计算：
；
（2）请用数学符号语言表述运算满足交换律和结合律，并证明交换律；
（3）中是否存在唯一确定的元素
满足：对于任意
，都有
成立，若存在，请求出元素；若不存在，请说明理由.
由全体二元有序实数对组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，，规定：.（1）计算：
；（2）请用数学符号语言表述运算
满足交换律和结合律，并证明交换律；（3）
中是否存在唯一确定的元素满足：对于任意，都有成立，若存在，请求出元素；若不存在，请说明理由.
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9 . 已知数列
和
满足：
，且
成等比数列，
成等差数列．
（1）行列式
，且
，求证：数列是等差数列；
（2）在（1）的条件下，若不是常数列，是等比数列，
①求和的通项公式；
②设
是正整数，若存在正整数
，使得
成等差数列，求
的最小值．
和满足：，且成等比数列，成等差数列．（1）行列式
，且，求证：数列是等差数列；（2）在（1）的条件下，若
不是常数列，是等比数列，①求
和的通项公式；②设
是正整数，若存在正整数，使得成等差数列，求的最小值．
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按第一列展开得
，记函数
，且
的最大值是
.
的图像向左平移
个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数
的图像，求
在
上的值域．
