1 . 对于非空集合
,定义其在某一运算(统称乘法)“×”下的代数结构称为“群”
,简记为
.而判断
是否为一个群,需验证以下三点:
1.(封闭性)对于规定的“×”运算,对任意
,都须满足
;
2.(结合律)对于规定的“×”运算,对任意
,都须满足
;
3.(恒等元)存在
,使得对任意
,
;
4.(逆的存在性)对任意
,都存在
,使得
.
记群
所含的元素个数为
,则群
也称作“
阶群”.若群
的“×”运算满足交换律,即对任意
,
,我们称
为一个阿贝尔群(或交换群).
(1)证明:所有实数在普通加法运算下构成群
;
(2)记
为所有模长为1的复数构成的集合,请找出一个合适的“×”运算使得
在该运算下构成一个群
,并说明理由;
(3)所有阶数小于等于四的群
是否都是阿贝尔群?请说明理由.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/38bdb8d4c486c37ac64517ed8d60888b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a1240721fdf6d8e1ed9c1158ae723637.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7c88c74a9c2efc329f92aa4203f0f780.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7c88c74a9c2efc329f92aa4203f0f780.png)
1.(封闭性)对于规定的“×”运算,对任意
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0c9cbad1e8b405feac6e8fe403f024b8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/830afd1befcf1a92874b5e0bc214578d.png)
2.(结合律)对于规定的“×”运算,对任意
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0d4ef2c168b3dba086f2485c3c9cc7c5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/44d2d88c195317bf5827a1304068f26a.png)
3.(恒等元)存在
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/25e6faeeed98a19d7012c921ca71a046.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/572f76c63e3a74a90a1e6ca5ae401cf8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/96e4c22a6a498e197149ce29d9e98fce.png)
4.(逆的存在性)对任意
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/572f76c63e3a74a90a1e6ca5ae401cf8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f5463eaf01a62bc6a772301d9e2ad19c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1487cef1d4227621d9311541dec87156.png)
记群
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7c88c74a9c2efc329f92aa4203f0f780.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f9f2eb65f2fe6546a5e318343d25fe66.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7c88c74a9c2efc329f92aa4203f0f780.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f9f2eb65f2fe6546a5e318343d25fe66.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7c88c74a9c2efc329f92aa4203f0f780.png)
(1)证明:所有实数在普通加法运算下构成群
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/74ba4c1c25324a8875b09d0c855a82ad.png)
(2)记
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d719c0c82f38a886db86c71bbaf8db32.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d719c0c82f38a886db86c71bbaf8db32.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/de4ef5fbf807246591e03d07ba4e3a4e.png)
(3)所有阶数小于等于四的群
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名校
解题方法
2 . 已知集合
,集合
.
(1)若
是
的必要不充分条件,求实数
的取值范围;
(2)若
,求实数
的取值范围.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/279fba9ba2f325d2d3c95f8caede1cdb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e60990e996ff1f3f6c13c57208183b96.png)
(1)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6ed006b944ea64f970fee46e2f558467.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e23af61cd402b3789af2401bde9cbefe.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
(2)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dea9a4259cca10c1f5af28e621ebafd6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
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2024-03-12更新
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450次组卷
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6卷引用:高一上学期第三次月考数学模拟试卷(第1章-第4章)-【题型分类归纳】(人教A版2019必修第一册)
(已下线)高一上学期第三次月考数学模拟试卷(第1章-第4章)-【题型分类归纳】(人教A版2019必修第一册)湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高一上学期11月期中联考数学试题黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷福建省福州市闽侯县第一中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题云南省大理市下关第一中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题(已下线)1.2常见逻辑用语(高三一轮)【同步课时基础卷】
解题方法
3 . 已知集合
是由某些正整数组成的集合,且满足:若
,则当且仅当
其中
且
,或
其中
且
.现有如下两个命题: ①
;②集合
.则下列选项中正确的是( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cf231f8f86fb922df4ca0c87f044cec3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/09256752badab8d69ae679796896ed97.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d69ad2e6fb245dd796a90069cdecf5bb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a4e2c7d495c75424714210323455d9ef.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5bb4e301bb40ce2f30a10cd44ddb5a95.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4f44754f1a3fb7f49c2f1bc8d55a78d7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/51e6e9364f9bff37c962556537a0a7a0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0908dc92cc1b6c38fa8114c0e122c4eb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d00c07c7865e822c502ffb72ae0406d1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/07b29af0b42059c645d2164532cd286c.png)
A.①是真命题, ②是真命题; | B.①是真命题, ②是假命题 |
C.①是假命题, ②是真命题; | D.①是假命题, ②是假命题. |
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名校
4 . 已知正整数
,对集合
及其每一个非空子集
,记
,其中
,定义一个运算“交替和”
.例如:对于集合
,
.则当
时,集合
的所有子集的“交替和”的总和为_________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0704f453b2de48d36911f7db496bbf82.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b315521745464732c0eb8c9bcc25aea3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/65e3ec8c5a00825669e691119089547c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4f3761763cd8c778f93f11f2a89cde6a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9a8cef566b38e8fff93f7af90b2909fa.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83dceca5fe4f16a0455490f0023bd9a7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/78a4b06447ce9c66708dd74512960f37.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/764eff906937f9b1fb58e5abfb2eb8a3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b315521745464732c0eb8c9bcc25aea3.png)
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名校
5 . 已知集合P,Q中都至少有两个元素,并且满足下列条件:①集合P,Q中的元素都为正数;②对于任意
,都有
;③对于任意
,都有
;则下列说法正确的是( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b82c42ec78d9ecdb114890a9196a9990.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e05f2c2a07c4ff99845b93abe2a105b6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/42b302f719ebf234c3b55e9b30e36ec9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fb92c63325f30e1615840e34e8ae9c22.png)
A.若P有2个元素,则Q有3个元素 |
B.若P有2个元素,则![]() |
C.若P有2个元素,则![]() |
D.存在满足条件且有3个元素的集合P |
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名校
解题方法
6 . 设集合
,则集合
的元素个数为( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/757b01c6c56e8fdd9eeb15ae9bcfecbe.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
A.1011 | B.1012 | C.2022 | D.2023 |
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2023-11-12更新
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1109次组卷
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7卷引用:专题12 同角三角函数关系与诱导公式
(已下线)专题12 同角三角函数关系与诱导公式(已下线)专题07 任意角、弧度制、三角函数概念及诱导公式2-期末复习重难培优与单元检测(人教A版2019)(已下线)专题05 三角函数4-2024年高一数学寒假作业单元合订本上海市闵行(文琦)中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(已下线)期末测试卷03-《期末真题分类汇编》(上海专用)上海市控江中学2024届高三上学期期中数学试题辽宁省部分名校2023-2024学年高二下学期5月质检数学试题
名校
解题方法
7 . 记所有非零向量构成的集合为
,对于
,定义
,
(1)若
,求出集合
中的三个元素;
(2)若
,其中
,求证:一定存在实数
,且
,使得
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be54e84508decfcce6d2fcbe6c8c1a92.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b57728ab9b425c557749e1e355180d20.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3b74229b8d0821487a16acc12cf5d9c8.png)
(1)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0e5d475b1ac3d3ec178dde5db6c2af13.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5af2f2a585879dfdc7ed8fb6b313786.png)
(2)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8a0c7f0e924b95ac24dcf42356b9fd00.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be3712b535577f7cd195aeb660e05b49.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e0d491ca1d69c14de489ec68aa280c97.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7789a85ea4968343b0d94ed2fe01b535.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/17a279883ac21fc291cb8d27de2a63c1.png)
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2023-11-07更新
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494次组卷
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11卷引用:第9章 平面向量 单元综合检测(难点)-《重难点题型·高分突破》(苏教版2019必修第二册)
(已下线)第9章 平面向量 单元综合检测(难点)-《重难点题型·高分突破》(苏教版2019必修第二册)(已下线)模块一 专题1 《平面向量的概念与运算》(人教A2019版)B【练】(已下线)模块二 专题1 平面向量相关概念的易混易错问题(已下线)模块三 专题2 专题1 平面向量运算(已下线)模块一 专题1《平面向量的概念与运算》单元检测篇B提升卷(苏教版高一)(已下线)模块二 专题1 平面向量相关概念的易混易错问题(苏教版)(已下线)模块三 专题2 解答题分类练 专题1 平面向量运算(解答题)(苏教版)(已下线)模块二 专题3 平面向量相关概念的易混易错问题(北师大版)(已下线)模块三 专题2 解答题分类练 专题3 平面向量各类运算(解答题)(已下线)模块一 专题3《平面向量的概念与运算》单元检测篇B提升卷(北师大版高一期中)北京市清华大学附属中学奥森分校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
名校
8 . 已知非空实数集
,
满足:任意
,均有
;任意
,均有
.
(1)直接写出
中所有元素之积的所有可能值;
(2)若
由四个元素组成,且所有元素之和为3,求
;
(3)若
非空,且由5个元素组成,求
的元素个数的最小值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cf231f8f86fb922df4ca0c87f044cec3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0b68df477b3ee45ac0f725db00d465a1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1c8647b00cc8c8f35555c7d78cf2812c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cb41fc59f3b73393137b5f94e226748f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5d81972b1768d827ba3083f96a273412.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e44d6313ede330c096f56ddcc71f3954.png)
(1)直接写出
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cf231f8f86fb922df4ca0c87f044cec3.png)
(2)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0b68df477b3ee45ac0f725db00d465a1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0b68df477b3ee45ac0f725db00d465a1.png)
(3)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1c450aa751cacd6442e82062d4b8b1e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/af500a4e28d6f5b38390b7642eb96ed5.png)
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2023-11-05更新
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409次组卷
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3卷引用:高一上学期期末考试解答题压轴题50题专练-举一反三系列
2022高一上·全国·专题练习
名校
解题方法
9 . 已知集合
,
或
.
(1)当
时,求
;
(2)若
,且“
”是“
”的充分不必要条件,求实数
的取值范围.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4ceff9240cf9f42a74efe5beef5c0c65.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1509228b43b9c3c5eb34ac2a7cc2ce11.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/074a2025262fb224ccab1efd1c8c992b.png)
(1)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e65397f11ea8af736f38debadf420c4a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8fdbfa7a63fdf5717d40c8c9a73ec160.png)
(2)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/94440d3e4c073f94f2b266ff99d50e74.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6ed006b944ea64f970fee46e2f558467.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b9dccb0f3cdcca85ed41ca903d5b9d0d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
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2023高一·上海·专题练习
10 . 设
是集合
的一个
元子集(即由
个元素组成的集合),且
的任何两个非空子集的元素之和不相等;而集合
的包含集合
的任意
元子集
,则存在
的两个子集,使这两个子集的元素之和相等.
(1)当
时,试写出一个三元子集
;
(2)当
时,证明:
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/374e18f9bf0af74f17dedc6364490f0c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a0f5bc5e87e1c7eb8f0e675b12b8af6e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0a532e15e232cb4b99a8d4d07c89575.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1b00f4eb7f1bd2ccefbabf0c1dfa8f69.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f9e8449aad35c5d840a3395ea86df6d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f9e8449aad35c5d840a3395ea86df6d.png)
(1)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7c345907ebe27888332b1b44c666cc47.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
(2)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/084d365cc7ff8f3bd2db97ee45b1db17.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/acb931a4b3eaa34e2c6f7dab5650f8af.png)
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