1 . 已知
：
为有穷数列.若对任意的
，都有
（规定
），则称具有性质
.设
.
(1)判断数列
：1，0.1，-0.2，0.5，
：1，2，0.7，1.2，2是否具有性质P?若具有性质P，写出对应的集合
；
(2)若具有性质，证明：
；
(3)给定正整数
，对所有具有性质的数列，求中元素个数的最小值.
：为有穷数列.若对任意的，都有（规定），则称具有性质.设.(1)判断数列
：1，0.1，-0.2，0.5，：1，2，0.7，1.2，2是否具有性质P?若具有性质P，写出对应的集合；(2)若
具有性质，证明：；(3)给定正整数
，对所有具有性质的数列，求中元素个数的最小值.
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2023-11-02更新
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420次组卷
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2卷引用：北京一零一中2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
2 . 
，集合
，若
，
分别为集合
，
的元素个数，则下列结论可能的是（ ）
，集合，若，分别为集合，的元素个数，则下列结论可能的是（ ）A． 且 | B．且 |
C． 且 | D．且 |
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名校
3 . 已知集合
，x、
，其中
．定义
，若
，则称x与y正交．
(1)若
，写出中与x正交的所有元素；
(2)令
，若
，证明：
为偶数；
(3)若
，且A中任意两个元素均正交，分别求出
，14时，A中最多可以有多少个元素．
，x、，其中．定义，若，则称x与y正交．(1)若
，写出中与x正交的所有元素；(2)令
，若，证明：为偶数；(3)若
，且A中任意两个元素均正交，分别求出，14时，A中最多可以有多少个元素．
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2023-02-03更新
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613次组卷
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5卷引用：上海市实验学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题
上海市实验学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题（已下线）难关必刷01集合的综合问题（3种题型30题专项训练）-【满分全攻略】（沪教版2020必修第一册）北京市广渠门中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）高一上学期期末复习【第一章 集合与常用逻辑用语】拔尖-举一反三系列（已下线）高一上学期期末考试解答题压轴题50题专练-举一反三系列
名校
4 . 设集合
中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意
，若
，都有
；
②对于任意
，若
，则
．
(1)分别对
和
，求出对应的
；
(2)如果当S中恰有三个元素时，中恰有4个元素，证明：S中最小的元素是1；
(3)如果S恰有4个元素，求的元素个数．
中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意
，若，都有；②对于任意
，若，则．(1)分别对
和，求出对应的；(2)如果当S中恰有三个元素时，
中恰有4个元素，证明：S中最小的元素是1；(3)如果S恰有4个元素，求
的元素个数．
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2022-11-07更新
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571次组卷
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3卷引用：北京师范大学第二附属中学2023解高三上学期期中考试数学试题
名校
5 . 对正整数，记
，
.
(1)用列举法表示集合
；
(2)求集合
中元素的个数；
(3)若集合A中任意两个元素之和都不是整数的平方，则称A为“稀疏集”.已知集合
能分成两个不相交的稀疏集的并集，求的最大值.
，记，.(1)用列举法表示集合
；(2)求集合
中元素的个数；(3)若集合A中任意两个元素之和都不是整数的平方，则称A为“稀疏集”.已知集合
能分成两个不相交的稀疏集的并集，求的最大值.
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解题方法
6 . 对非空数集
，
，定义与的和集
.对任意有限集
，记
为集合中元素的个数.
(1)若集合
，
，写出集合
与
；
(2)若集合
满足
，
，且
，求证：数列
，
，
，
是等差数列；
(3)设集合满足，，且
，集合
（
，
），求证：存在集合满足
且
.
，，定义与的和集.对任意有限集，记为集合中元素的个数.(1)若集合
，，写出集合与；(2)若集合
满足，，且，求证：数列，，，是等差数列；(3)设集合
满足，，且，集合（，），求证：存在集合满足且.
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2022-03-30更新
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1687次组卷
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4卷引用：北京市朝阳区2022届高三一模数学试题
名校
7 . 对正整数，记
，.
（1）用列举法表示集合；
（2）求集合中元素的个数；
（3）若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“稀疏集”.证明：存在使得能分成两个不相交的稀疏集的并集，且的最大值为14.
，记，.（1）用列举法表示集合
；（2）求集合
中元素的个数；（3）若
的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“稀疏集”.证明：存在使得能分成两个不相交的稀疏集的并集，且的最大值为14.
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2021-10-17更新
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940次组卷
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6卷引用：上海市大同中学2021-2022学年高一上学期10月月考数学试题
上海市大同中学2021-2022学年高一上学期10月月考数学试题（已下线）1.1 集合的运算(第4课时）上海市青浦高级中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题（已下线）第1章 集合与逻辑（基础、典型、新文化、压轴）分类专项训练-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第一册）湖南省岳阳市2022-2023学年高一下学期期中数学试题（已下线）难关必刷01集合的综合问题（3种题型30题专项训练）-【满分全攻略】（沪教版2020必修第一册）
名校
解题方法
8 . 我们学过二维的平面向量，其坐标为
，那么对于
维向量，其坐标为
.设维向量的所有向量组成集合
.当
时，称为的“特征向量”，如
的“特征向量”有
，
，
，
.设
和
为的“特征向量”， 定义
.
（1）若
，
，且
，
，计算
，
的值；
（2）设
且
中向量均为的“特征向量”，且满足：
，
，当
时，为奇数；当
时，为偶数.求集合中元素个数的最大值；
（3）设
，且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，且时，
.写出一个集合，使其元素最多，并说明理由.
，那么对于维向量，其坐标为.设维向量的所有向量组成集合.当时，称为的“特征向量”，如的“特征向量”有，，，.设和为的“特征向量”， 定义.（1）若
，，且，，计算，的值；（2）设
且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，当时，为奇数；当时，为偶数.求集合中元素个数的最大值；（3）设
，且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，且时，.写出一个集合，使其元素最多，并说明理由.
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2021-09-06更新
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1036次组卷
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3卷引用：北京市一零一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题
9 . 设n∈N*且n≥2，集合
（1）写出集合
中的所有元素；
（2）设（
，···，
），（
，···，
）∈
，证明“
=
”的充要条件是
=
（i=1，2，3，···，n）；
（3）设集合={
︳（
，···，）∈}，求中所有正数之和.
（1）写出集合
中的所有元素；（2）设（
，···，），（，···，）∈，证明“=”的充要条件是=（i=1，2，3，···，n）；（3）设集合
={︳（，···，）∈}，求中所有正数之和.
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2020-02-15更新
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938次组卷
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3卷引用：2019年北京市丰台区高三（3月）模拟数学（理）
名校
10 . 在直角坐标平面
中，已知两定点
与
位于动直线
的同侧，设集合
点
与点
到直线
的距离之差等于
，
，记
,
.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________ .
中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是
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2017-07-01更新
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978次组卷
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4卷引用：上海市金山中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学试题
上海市金山中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学试题（已下线）专题4.1 坐标平面上的直线【压轴题型专项训练】-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（沪教版）（已下线）上海市华东师范大学第二附属中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题上海市南洋模范中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
