1 . 设正整数m，n满足，，，，…，为集各的n元子集，且；
（1）若，满足；
（i）求证：；
（ii）求满足条件的集合的个数；
（2）若中至多有一个元素，求证：.

2 . 设整数，集合，是的两个非空子集，，记为所有满足的集合对的个数．
（1）求；
（2）求．

3 . 设集合，如果对于的每一个含有个元素的子集，中必有个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”
（1）当时，判断和是否为集合的“相关数”，说明理由；
（2）若为集合的“相关数”，证明：.

4 . 已知，T是由A的子集组成的集合，满足性质：空集和属于，且任意两个元素的交和并也属于T，
(1)当T的元素个数为2时，请写出所有符合条件的T.
(2)当T的元素个数为3时，请写出所有符合条件的T.
(3)求所有符合条件的T的个数.

5 . 已知集合（，且），若存在非空集合，使得，且，并任意，都有，则称集合S具有性质P，称为集合S的P子集.
（1）当时，试说明集合S具有性质P，并写出相应的P子集；
（2）若集合S具有性质P，集合T是集合S的一个P子集，设，求证：任意，，都有；
（3）求证：对任意正整数，集合S具有性质P.

6 . 设，，在集合的所有元素个数为2的子集中,把每个子集的较大元素相加，和记为,较小元素之和记为.
(1)当时,求,的值；
(2)求证:为任意的, ，为定值.

7 . 设集合是非空集合的两个不同子集.
(1)若，且是的子集，求所有有序集合对的个数；
(2)若，且的元素个数比的元素个数少，求所有有序集合对的个数.

8 . 设集合是非空集合的两个不同子集．
（1）若，且是的子集，求所有有序集合对的个数；
（2）若，且的元素个数比的元素个数少，求所有有序集合对的个数．

9 . 已知集合是集合的一个含有个元素的子集.
（Ⅰ）当时,
设
（i）写出方程的解；
（ii）若方程至少有三组不同的解,写出的所有可能取值.
（Ⅱ）证明:对任意一个,存在正整数使得方程至少有三组不同的解.

10 . 设集合是的两个非空子集，且满足集合中的最大数小于集合中的最小数，记满足条件的集合对的个数为.
（1）求的值；
（2）求的表达式.