1 . （1）求证：已知，，，，，并指出等号成立的条件；
（2）求证：对任意的，关于的两个方程与至少有一个方程有实数根（反证法证明）；
（3）求证：使得不等式对一切实数，，都成立的充要条件是，，且.

2 . 当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，．
(1)计算；
(2)证明，“或”是“”的充要条件．

3 . 已知​.
(1)若，且，求 ​的最小值；
(2)求证：函数在上单调的充要条件是​.

4 . 对于给定集合，若集合中任意两个不同元素之和仍是集合中的元素，则称集合是“封闭集合”．设为实常数且，集合，证明：集合为“封闭集合”的充要条件是：存在整数，使得．

5 . 设，现有以下三个条件：
甲：且
乙：
丙：
求证：甲分别是乙和丙的充分条件．

6 . 若实数x，y，m满足，则称x比y接近m，
(1)请判断命题：“比接近”的真假，并说明理由；
(2)已知x＞0，y＞0，若，证明：1比p接近；
(3)判断：“x比y接近m”是“”的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件），并加以证明．

7 . 对于无穷数列，若存在正整数，使得对一切正整数都成立，则称无穷数列是周期为的周期数列.
(1)已知无穷数列是周期为的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围；
(2)若无穷数列和满足，求证：“是周期为的周期数列”的充要条件是“是周期为的周期数列，且”；
(3)若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.

8 . 下列说法错误的是（       ）

A．使得成立的一个充分不必要条件是

B．充分条件就是“有之即可，无之未必不行”

C．必要条件就是“有之未必行，无之必不行”

D．没有证明的猜想不是命题

9 . 对于数列，记．
(1)若数列通项公式为：，求；
(2)若数列满足：，，且，求证：的充分必要条件是；
(3)已知，若，．求的最大值．

10 . 分式线性变换又称为莫比乌斯变换，它是定义在复数集中形如的变换，其中w称为z的“像”，z称为w的“原像”．
(1)若，求i的“像”以及“原像”；
(2)若，，求证：的充要条件是；
(3)若，，z满足，求z的“像”在复平面上所构成图形的面积．