1 . 已知：如图，是平面的一条斜线，是在内的射影，直线在平面上．求证：当且仅当．
   

2 . 求关于x的方程至少有一个负实根的充要条件．

3 . 已知函数.
(1)求的定义域；
(2)证明：在区间上存在最大值的充要条件是

4 . 已知，为锐角，求证：“”是“”成立的充要条件．

5 . 已知，非空集合.
(1)若是的必要条件，求的取值范围；
(2)是否存在实数m，使是的充要条件?请说明理由.

6 . 若数列满足：，且，则称为一个X数列. 对于一个X数列，若数列满足：，且，则称为的伴随数列.
(1)若X数列中，，，，写出其伴随数列中的值；
(2)若为一个X数列，为的伴随数列.
①证明：“为常数列”是“为等比数列”的充要条件；
②求的最大值.

7 . 在①充分而不必要，②必要而不充分，③充要，这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中，若问题中的实数存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.问题：已知集合，非空集合.是否存在实数，使得是的__________条件？

8 . 如图，若点A，B，C互不重合，O是A，B，C三点所在平面上的任意一点，且，证明：A，B，C三点共线是的充要条件．
   

9 . 设a，b，c为的三边，求方程与有公共根的充要条件．

10 . 设是实数，证明：对任何满足的实数，不等式恒成立的充要条件是：且．