1 . 设
，若不等式
恒成立，求a，b，c应满足的充要条件．
，若不等式恒成立，求a，b，c应满足的充要条件．
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2 . 数列
满足
，称
为数列
的指数和.
(1)若
，求
所有可能的取值；
(2)求证：数列的指数和
的充分必要条件是
.
满足，称为数列的指数和.(1)若
，求所有可能的取值；(2)求证：数列
的指数和的充分必要条件是.
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名校
解题方法
3 . 已知数列
，
，…，
的各项均为正整数．设集合，
记
的元素个数为
．
(1)若数列1，1，3，2，求集合，并写出的值；
(2)若
是递增数列，求证：“
”的充要条件是“为等差数列”；
(3)若
，数列由1，2，3，…，11，22这12个数组成，且这12个数在数列中每个至少出现一次，求的最大值．
，，…，的各项均为正整数．设集合，记的元素个数为．(1)若数列
1，1，3，2，求集合，并写出的值；(2)若
是递增数列，求证：“”的充要条件是“为等差数列”；(3)若
，数列由1，2，3，…，11，22这12个数组成，且这12个数在数列中每个至少出现一次，求的最大值．
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4 . 记无穷数列
的前n项中最大值为
，最小值为
，令
．
(1)若
，请写出
的值；
(2)求证：“数列是递增的等差数列”是“数列
是递增的等差数列”的充要条件；
(3)若
，求证：存在
，使得
，有
．
的前n项中最大值为，最小值为，令．(1)若
，请写出的值；(2)求证：“数列
是递增的等差数列”是“数列是递增的等差数列”的充要条件；(3)若
，求证：存在，使得，有．
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2023-03-26更新
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483次组卷
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2卷引用：北京市清华附中2023届高三下学期3月调研数学试题
5 . 已知集合
，对于集合
的非空子集．若中存在三个互不相同的元素
，
，
，使得
，
，
均属于，则称集合是集合的“期待子集”．
(1)试判断集合
，
是否为集合
的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
(2)如果一个集合中含有三个元素
，
，
，同时满足①
，②
，③
为偶数．那么称该集合具有性质
．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质；
(3)若
的任意含有
个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值．
，对于集合的非空子集．若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”．(1)试判断集合
，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）(2)如果一个集合中含有三个元素
，，，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质；(3)若
的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值．
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2023-03-21更新
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1035次组卷
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6卷引用：北京市丰台区2023届高三一模数学试题
北京市丰台区2023届高三一模数学试题专题12压轴题汇总（10、15、21题）专题01集合与常用逻辑（已下线）北京市丰台区2023届高三下学期3月一模数学试题变式题16-21北京卷专题02集合（解答题）（已下线）第一章 集合与逻辑（压轴题专练）-速记·巧练（沪教版2020必修第一册）
2023高三·全国·专题练习
6 . 已知数列满足
，求证：数列为等差数列的充要条件是
．
满足，求证：数列为等差数列的充要条件是．
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7 . 已知函数
在定义域
上严格单调递增．
(1)证明：函数至多存在一个零点．
(2)若函数存在零点
，证明：存在
，使得
对于任意
恒成立的充分必要条件是
．
在定义域上严格单调递增．(1)证明：函数
至多存在一个零点．(2)若函数
存在零点，证明：存在，使得对于任意恒成立的充分必要条件是．
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8 . 记
表示数组：
中的最大值.
(1)判断函数
，
的奇偶性，并说明理由；
(2)讨论函数
，的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、最值与零点（不需要证明）；
(3)已知函数
，
与
都定义在实数集
上，且函数是单调递增函数，是周期函数，是单调递减函数，求证：
是单调递增函数的充要条件是：对任意，
，
.
表示数组：中的最大值.(1)判断函数
，的奇偶性，并说明理由；(2)讨论函数
，的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、最值与零点（不需要证明）；(3)已知函数
，与都定义在实数集上，且函数是单调递增函数，是周期函数，是单调递减函数，求证：是单调递增函数的充要条件是：对任意，，.
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9 . 若无穷数列
满足：是正实数，当
时，
，则称是“
数列”．
(1)若是“数列”且，写出
的所有可能值；
(2)设是“数列”，证明：是等差数列的充分必要条件是单调递减；
(3)若是“数列”且是周期数列（即存在正整数，使得对任意正整数
，都有
，求集合
的元素个数的所有可能取值．
满足：是正实数，当时，，则称是“数列”．(1)若
是“数列”且，写出的所有可能值；(2)设
是“数列”，证明：是等差数列的充分必要条件是单调递减；(3)若
是“数列”且是周期数列（即存在正整数，使得对任意正整数，都有，求集合的元素个数的所有可能取值．
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10 . 已知函数的定义域为
，若存在实常数
及
，对任意
，当
且
时，都有
成立，则称函数具有性质
，集合
叫做函数的
性质集．
(1)判断函数
是否具有性质，并说明理由；
(2)若函数
具有性质，求
的性质集；
(3)已知函数
不存在零点，且当
时具有性质
（其中
，
，若
，求证：数列为等比数列的充要条件是
或
．
的定义域为，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质，集合叫做函数的性质集．(1)判断函数
是否具有性质，并说明理由；(2)若函数
具有性质，求的性质集；(3)已知函数
不存在零点，且当时具有性质（其中，，若，求证：数列为等比数列的充要条件是或．
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