1 . 英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，.
(1)证明：当时，；
(2)设，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”.
（i）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；
（ii）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.

2 . 给出下列命题：
①函数恰有两个零点；
②若函数在上的最小值为4，则；
③若函数满足，则；
④若关于的方程有解，则实数的取值范围是．
其中正确的是（       ）

A．①③

B．②④

C．③④

D．②③

3 . 设函数满足，定义域为，值域为A，若集合可取得A中所有值，则参数a的取值范围为___________.

4 . 函数（e为无理数，且e = 2.71828…），则下列说法中正确的是（　　）

A．函数的图象关于直线对称

B．若函数在区间上不单调，则k的取值范围为

C．若对任意恒成立，则m的取值范围为

D．若函数在区间上的取值范围为，则的范围为

5 . 形如的函数的图象很像两个“丿”，人们习惯称此类函数为“两撇函数”．它具有如下性质：① 该函数为奇函数；② 该函数在上单调递增．
(1)当时，请举例说明在上不是增函数；
(2)已知，设．若，，使得，求实数a的取值范围．

6 . 在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：
若y′=，则称点Q为点P的“可控变点”．请问：
若点P在函数y=-x²+16（-5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是-16<y′≤16，则实数a的取值范围是_____．

7 . 已知的值域为.
(1)求实数的值；
(2)判断函数在上的单调性，并给出证明；
(3)若，求证.