1 . 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，抛物线的顶点为，直线.
   
（1）当时，画出直线和抛物线，并直接写出直线被抛物线截得的线段长；
（2）随着取值的变化，判断点，是否都在直线上并说明理由；
（3）若直线被抛物线截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出的取值范围.

2 . 已知函数．
（1）若在区间上的最小值为，求的值；
（2）若存在实数，使得在区间上单调且值域为，求的取值范围．

3 . 已知函数的图象上有两点，．函数满足，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）能否保证和中至少有一个为正数？请证明你的结论．

4 . 如图，已知抛物线的图象经过点，与轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴与轴相交于点，连接．

（1）求抛物线的解析式．
（2）若点在直线上，当时，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，作轴于，点为轴上一动点，为直线上一动点，为抛物线上一动点，当以点四点为顶点的四边形为正方形时，求点的坐标．

5 . 已知函数.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）设的极大值为，极小值为，求的取值范围.

6 . 已知函数，其中为实数．
（Ⅰ）当时，求函数的最小值；
（Ⅱ）若在上为增函数，求实数的取值范围；
（Ⅲ）对于给定的负数，若存在两个不相等的实数（ 且 ）使得，求的取值范围.

7 . 已知函数，其最小值为．
求的表达式；
当时，是否存在，使关于t的不等式有且仅有一个正整数解，若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

8 . 设，若，.
（1）求证：方程在区间内有两个不等的实数根；
（2）若都为正整数，求的最小值.