1 . 若函数满足：对于任意正数，，都有，，且，则称函数为“函数”．
（1）试判断函数与是否是“函数”；
（2）若函数为“函数”，求实数的取值范围；
（3）若函数为“函数”，且，求证：对任意，都有 ．

2 . 已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 设函数.
（1）讨论函数在内的单调性；
（2）记，求函数在上的最大值；
（3）在（2）中，取，求满足时的最大值.

4 . 设函数．
（1）求函数在上的最大值；
（2）当时，对所有的及恒成立，求实数的取值范围．

5 . 已知为实数，函数，且函数是偶函数，函数在区间上的减函数，且在区间上是增函数.
（1）求函数的解析式；
（2）求实数的值；
（3）设，问是否存在实数，使得在区间上有最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

6 . 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，记，；
（1）求实数、的值；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的范围；
（3）对于定义在上的函数，设，，用任意将划分成个小区间，其中，若存在一个常数，使得不等式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数，试证明函数是在上的有界变差函数，并求出的最小值；

7 . 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，记；
（1）求实数、的值；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的范围；
（3）对于定义在上的函数，设，，用任意的将划分为个小区间，其中，若存在一个常数，使得恒成立，则称函数为上的有界变差函数；
①试证明函数是在上的有界变差函数，并求出的最小值；
②写出是在上的有界变差函数的一个充分条件，使上述结论成为其特例；（不要求证明）

8 . 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.
（1）若、且，证明：函数必有局部对称点；
（2）若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围；
（3）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围.

9 . 已知是定义在上的函数，记，的最大值为.若存在，满足，，，则称一次函数是的“逼近函数”此时的称为在上的“逼近确界”.
（1）验证是，的“逼近函数”；
（2）已知，，.若是的“逼近函数”，求a，b的值；
（3）已知，，求证；对任意常数a，b，.

10 . 如图是一个“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中是过抛物线的两条互相垂直的弦（点在第二象限），且交于点，点为轴上一点，，其中为锐角

（1）设线段的长为，将表示为关于的函数
（2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时的大小