1 . 设全集为，定义域为的函数是关于x的函数“函数组”，当n取中不同的数值时可以得到不同的函数．例如：定义域为的函数，当时，有若存在非空集合满足当且仅当时，函数在上存在零点，则称是上的“跳跃函数”．
(1)设，若函数是上的“跳跃函数”，求集合;
(2)设，若不存在集合使为上的“跳跃函数”，求所有满足条件的集合的并集；
(3)设，为上的“跳跃函数”，．已知，且对任意正整数n，均有．
（i）证明：;
（ii）求实数的最大值，使得对于任意，均有的零点．

2 . 临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念. 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则为凸函数. 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间上的凹函数，则对任意的,有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）. 小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数和对数函数，研究函数的凹凸性.
(1)设，求W=的最小值.
(2)设为大于或等于1的实数，证明（提示：可设）
(3)若a>1，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

3 . 已知，，，，若是的充分条件．
(1)求m的取值范围；
(2)求证：函数的图像在x轴的下方．

4 . 设函数.
(1)证明：存在唯一的函数，使得；
(2)求所有的非负实数使得；
(3)，
（i）证明：关于的方程与都有唯一实根；
（ii）记分别为方程，的实根，证明：.

5 . 我们知道当时，对一切恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究.
（1）当时，求的值
（2）当时，求证：是不存在的；
（3）求证：只有一对正整数对使得等式成立.

6 . 如果函数满足在集合上的值域仍是集合，则把函数称为函数．例如：就是函数．
（1）下列函数：①，②，③中，哪些是函数（只需写出判断结果）？
（2）判断函数是否为函数，并证明你的结论．
（3）证明：对于任意实数a，b，函数都不是函数．
（注：“”表示不超过x的最大整数）