名校
解题方法
1 . 已知一企业生产某产品的年固定成本为
万元，每生产千件需另投入
万元，若该企业一年内共生产此种产品
千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为
万元，且
(1)写出年利润
（万元）关于年产品（千件）的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大?最大利润是多少?
（注：年利润
年销售收入-年总成本）
万元，每生产千件需另投入万元，若该企业一年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且(1)写出年利润
（万元）关于年产品（千件）的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大?最大利润是多少?
（注：年利润
年销售收入-年总成本）
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2024-04-26更新
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198次组卷
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3卷引用：广东省清远市2023-2024学年高二下学期期中联合考试数学试题
广东省清远市2023-2024学年高二下学期期中联合考试数学试题青海省西宁市第十四中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（已下线）广东省清远市2023-2024学年高二下学期期中联合考试数学试题变式题16-19
名校
解题方法
2 . 某公园有一块如图所示的区域
，该场地由线段
、
、
及曲线段
围成．经测量，
，
米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点
到、的距离都是50米．现拟在该区域建设一个矩形游乐场
，其中点
在曲线段上，点
、
分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米．设
米，游乐场的面积为
平方米．的方程；
(2)求面积关于的函数解析式
；
(3)试确定点的位置，使得游乐场的面积最大．（结果精确到0.1米）（参考数据：
，
）
，该场地由线段、、及曲线段围成．经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是50米．现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米．设米，游乐场的面积为平方米．
的方程；(2)求面积
关于的函数解析式；(3)试确定点
的位置，使得游乐场的面积最大．（结果精确到0.1米）（参考数据：，）
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3 . 如图（图中单位为：m），将一个边长为16的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．
(2)x多大时，方盒的容积V最大？最大容积为多少？
(2)x多大时，方盒的容积V最大？最大容积为多少？
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名校
4 . 如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．
（其中
，
，
，求函数
解析式及2023min时点P距离地面的高度；
(2)当点P距离地面
及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？
（其中，，，求函数解析式及2023min时点P距离地面的高度；(2)当点P距离地面
及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？
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5 . 空调是人们生活水平提高的一个标志，炎热夏天，空调使温度调节到适合人们工作、学习、生活的舒适环境内，心情好，休息好，工作效率也高，这是社会进步的一个里程碑．为适应市场需求，2024年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x千台空调，需另投入成本
万元，当年产量不足30千台时，
，当年产量不小于30千台时，
．已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完．
(1)写出年利润
（万元）关于年产量x（千台）的函数解析式．
(2)年产量为多少千台时，该厂该型号的变频空调所获利润最大？并求出最大利润．
万元，当年产量不足30千台时，，当年产量不小于30千台时，．已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完．(1)写出年利润
（万元）关于年产量x（千台）的函数解析式．(2)年产量为多少千台时，该厂该型号的变频空调所获利润最大？并求出最大利润．
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解题方法
6 . 伯努利不等式又称贝努力不等式，由著名数学家伯努利发现并提出．伯努利不等式在证明数列极限、函数的单调性以及在其他不等式的证明等方面都有着极其广泛的应用．伯努利不等式的一种常见形式为：当
时，
，当且仅当
或
时取等号．
(1)假设某地区现有人口
万，且人口的年平均增长率为
，以此增长率为依据，试判断
年后该地区人口的估计值是否能超过
万？
(2)数学上常用
表示
，
，
，
的乘积，
．
①证明：
；
②数列
，
满足：
，
，证明：
．
时，，当且仅当或时取等号．(1)假设某地区现有人口
万，且人口的年平均增长率为，以此增长率为依据，试判断年后该地区人口的估计值是否能超过万？(2)数学上常用
表示，，，的乘积，．①证明：
；②数列
，满足：，，证明：．
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7 . 为了积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召，某同学大学毕业后决定利用所学专业知识进行自主创业．经过市场调查，生产某种小型电子产品需投入固定成本3万元，每生产万件，需另投入流动成本
万元，当年产量小于10万件时，
（万元）；当年产量不小于10万件时，
（万元）．已知每件产品售价为6元，假若该产品当年全部售完．
(1)写出年利润
（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）
(2)当年产量约为多少万件时，该产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（结果保留一位小数，取
）
万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于10万件时，（万元）；当年产量不小于10万件时，（万元）．已知每件产品售价为6元，假若该产品当年全部售完．(1)写出年利润
（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）(2)当年产量约为多少万件时，该产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（结果保留一位小数，取
）
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名校
8 . 某学校附近有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校安保处李老师提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度
（米），停车位相对道路倾斜的角度度
，其中
．
，求
和
的长；
(2)求d关于
的函数表达式
；
(3)若
，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？
（米），停车位相对道路倾斜的角度度，其中．
，求和的长；(2)求d关于
的函数表达式；(3)若
，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？
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23-24高二下·全国·期中
9 . 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位；
）满足关系：
，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和．
(1)求的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
（单位；）满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和．(1)求
的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用
达到最小，并求最小值．
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2024·山东·模拟预测
解题方法
10 . 如图①，将
个完全一样质量均匀长为
的长方体条状积木，一个叠一个，从桌子边缘往外延伸，最多能伸出桌缘多远而不掉下桌面呢？这就是著名的“里拉斜塔问题”．
解决方案如下：如图②，若
，则当积木与桌缘垂直且积木重心
恰与桌缘齐平时，其伸出桌外部分最长为
，如图③，若
，欲使整体伸出桌缘最远，在保证所有积木最长棱与桌缘垂直的同时，可先将上面积木的重心与最下方的积木伸出桌外的最远端齐平，然后设最下方积木伸出桌外的长度为，将最下方积木看成一个杠杆，将桌缘看成支点，由杠杆平衡原理可知，若积木恰好不掉下桌面，则上面积木的重力
乘以力臂，等于最下方积木的重力乘以力臂
，得出方程
，求出
．所以当叠放两个积木时，伸出桌外最远为
，此时将两个积木看成整体，其重心
恰与桌缘齐平．如图④，使前两块积木的中心与下方的第三块积木伸出桌外的最远端齐平，便可求出
时积木伸出桌外的最远距离．依此方法，可求出4个、5个直至个积木堆叠伸出桌外的最远距离．（参考数据：
，
为自然常数）
(1)分别求出和
时，积木伸出桌外的最远距离．（用表示）；
(2)证明：当
时，积木伸出桌外最远超过
；
(3)证明：当
时，积木伸出桌外最远不超过
．
个完全一样质量均匀长为的长方体条状积木，一个叠一个，从桌子边缘往外延伸，最多能伸出桌缘多远而不掉下桌面呢？这就是著名的“里拉斜塔问题”．解决方案如下：如图②，若
，则当积木与桌缘垂直且积木重心恰与桌缘齐平时，其伸出桌外部分最长为，如图③，若，欲使整体伸出桌缘最远，在保证所有积木最长棱与桌缘垂直的同时，可先将上面积木的重心与最下方的积木伸出桌外的最远端齐平，然后设最下方积木伸出桌外的长度为，将最下方积木看成一个杠杆，将桌缘看成支点，由杠杆平衡原理可知，若积木恰好不掉下桌面，则上面积木的重力乘以力臂，等于最下方积木的重力乘以力臂，得出方程，求出．所以当叠放两个积木时，伸出桌外最远为，此时将两个积木看成整体，其重心恰与桌缘齐平．如图④，使前两块积木的中心与下方的第三块积木伸出桌外的最远端齐平，便可求出时积木伸出桌外的最远距离．依此方法，可求出4个、5个直至个积木堆叠伸出桌外的最远距离．（参考数据：，为自然常数）(1)分别求出
和时，积木伸出桌外的最远距离．（用表示）；(2)证明：当
时，积木伸出桌外最远超过；(3)证明：当
时，积木伸出桌外最远不超过．
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