2024·山东·模拟预测
解题方法
1 . 如图①,将
个完全一样质量均匀长为
的长方体条状积木,一个叠一个,从桌子边缘往外延伸,最多能伸出桌缘多远而不掉下桌面呢?这就是著名的“里拉斜塔问题”.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2024/3/23/bc879c7d-8f43-4e6c-b6d8-ddd10ad2a335.png?resizew=507)
解决方案如下:如图②,若
,则当积木与桌缘垂直且积木重心
恰与桌缘齐平时,其伸出桌外部分最长为
,如图③,若
,欲使整体伸出桌缘最远,在保证所有积木最长棱与桌缘垂直的同时,可先将上面积木的重心与最下方的积木伸出桌外的最远端齐平,然后设最下方积木伸出桌外的长度为
,将最下方积木看成一个杠杆,将桌缘看成支点,由杠杆平衡原理可知,若积木恰好不掉下桌面,则上面积木的重力
乘以力臂
,等于最下方积木的重力
乘以力臂
,得出方程
,求出
.所以当叠放两个积木时,伸出桌外最远为
,此时将两个积木看成整体,其重心
恰与桌缘齐平.如图④,使前两块积木的中心
与下方的第三块积木伸出桌外的最远端齐平,便可求出
时积木伸出桌外的最远距离.依此方法,可求出4个、5个直至
个积木堆叠伸出桌外的最远距离.(参考数据:
,
为自然常数)
(1)分别求出
和
时,积木伸出桌外的最远距离.(用
表示);
(2)证明:当
时,积木伸出桌外最远超过
;
(3)证明:当
时,积木伸出桌外最远不超过
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0c88d9142df6ba8e43c1a93bd04a1362.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2024/3/23/bc879c7d-8f43-4e6c-b6d8-ddd10ad2a335.png?resizew=507)
解决方案如下:如图②,若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c87b351f16728b0023fd63678f8103c7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/23f919bd3dde10dbbc076f7ec5149699.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b00c12002fe4b07e3f91c7ae5c9192dd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cc2d3df37e73a8abea815f37dbb3fff5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/895dc3dc3a6606ff487a4c4863e18509.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/895dc3dc3a6606ff487a4c4863e18509.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dc11468f07d42dda1d7d51107aab02fe.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/18b4ed74387268c43450135937805101.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7050b91eacc62f73d872eeb628f3565c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2926c82d9ad9f5ba647c83fa3024f323.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3c4f6f74444b2b7947fc6e35c8d62322.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3c4f6f74444b2b7947fc6e35c8d62322.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be604061cf1591f7069472269d4c9719.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0af3a30b2f1dbc2fa12eb6759eee69d0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/041a7c8fc017f596542c5e6ec7d1c40b.png)
(1)分别求出
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be604061cf1591f7069472269d4c9719.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fac3649308b528fd56545ba102dc42d5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0c88d9142df6ba8e43c1a93bd04a1362.png)
(2)证明:当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca71b6d6fd74f098d1e78161820dd3b6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0d916a406adac9fa4dcfbad152547ac9.png)
(3)证明:当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/30589b25ca71883ec4a5d1824c243bad.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81731a804207d04115c15a16f3a27011.png)
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2 . 已知大气压强
(帕)随高度
(米)的变化满足关系式
是海平面大气压强.
(1)世界上有14座海拔8000米以上的高峰,喜马拉雅承包了10座,设在海拔4000米处的大气压强为
,求在海拔8000米处的大气压强(结果用
和
表示).
(2)我国陆地地势可划分为三级阶梯,其平均海拔如下表:
若用平均海拔的范围直接代表海拔的范围,设在第二级阶梯某处的压强为
,在第三级阶梯某处的压强为
,证明:
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1010846eeec6c9da29640f5aa3f8738.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3eabd5f3a86afe49dcd70571e2b96cfd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c3de17a73e40a55e7e930bbbec3de1d0.png)
(1)世界上有14座海拔8000米以上的高峰,喜马拉雅承包了10座,设在海拔4000米处的大气压强为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2a886d45a46bdde67115c5911cb85ea6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3606c4a853a6a34cb7f33bea81b15a1f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2a886d45a46bdde67115c5911cb85ea6.png)
(2)我国陆地地势可划分为三级阶梯,其平均海拔如下表:
平均海拔(单位:米) | |
第一级阶梯 | ![]() |
第二级阶梯 | ![]() |
第三级阶梯 | ![]() |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/adad9633b73dfbbb3d84b4f15979e99e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/845e602f8f75a107f186e4803ecafa05.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/02c0b5136e09293a4488211b80ba86ee.png)
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2023-07-29更新
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130次组卷
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2卷引用:辽宁省部分学校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题
名校
3 .
技术的价值和意义在自动驾驶、物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一是香农公式:
,其中:
(单位:
)是信道容量或者叫信道支持的最大速度,
单位;
)是信道的带宽,
单位:
)是平均信号功率,
(单位:
)是平均噪声功率,
叫做信噪比.
(1)根据香农公式,如果不改变带宽
,那么将信噪比
从1023提升到多少时,信道容量
能提升![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1078cd967972b58c8eb2783d8b7a41f5.png)
(2)已知信号功率
,证明:
;
(3)现有3个并行的信道
,它们的信号功率分别为
,这3个信道上已经有一些相同的噪声或者信号功率.根据(2)中结论,如果再有一小份信号功率,把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量?(只需写出结论)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/47248d88a8876e1177cbd3ba43b11bea.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/70215f90c7b8bd048aeab814ffcb1075.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5db41a1f31d6baee7c69990811edb9f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e0594324ac79e120d87761d147159f93.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/53801bf39bf5de59f2853caeac6f8784.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/72bc766cbead9ec6fb613abe669b0be2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/14bfbd55ad2a343daee3194b30a4cca2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca586d4c35ce52dec4b545cf13ee0721.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54a5d7d3b6b63fe5c24c3907b7a8eaa3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca586d4c35ce52dec4b545cf13ee0721.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/848c6dc59f47173493581489dde138df.png)
(1)根据香农公式,如果不改变带宽
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/91edc7e2d4811f5ea6c01284cf00393a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/848c6dc59f47173493581489dde138df.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5db41a1f31d6baee7c69990811edb9f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1078cd967972b58c8eb2783d8b7a41f5.png)
(2)已知信号功率
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c7d654dec2ae3a0f1dda3420b354d38b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0116640668a4da68b97f4f7809a95a7.png)
(3)现有3个并行的信道
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/67b0ea548b200fd74a2412d13c00e077.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e717353515a0c6f3423dd25b42509006.png)
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2023-03-16更新
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266次组卷
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6卷引用:北京市丰台区普通高中2020-2021学年数学合格性调研试卷
北京市丰台区普通高中2020-2021学年数学合格性调研试卷(已下线)第12课时 课后 函数的应用(已下线)专题9.2 期中押题检测卷(考试范围:第1-4章)2(中)-【满分计划】2021-2022学年高一数学阶段性复习测试卷(苏教版2019必修第一册)福建省福鼎市第六中学2022-2023学年高三上学期12月月考试数学试题湖南省名校联合体2022-2023学年高一下学期第一次联考数学试题福建省厦门市第一中学2023-2024学年高一上学期期末模拟数学试题
名校
解题方法
4 . 为给“中国共产党建党100周年”献礼,某军工科研所加大了科研力度,对某类型榴弹炮进行了改良.如图,平面直角坐标系xOy中,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度1千米;把改良后的榴弹炮置于坐标原点,则炮弹发射后的轨迹在方程
表示的曲线上,其中k与发射方向有关,榴弹炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/7/12/2762508436004864/2764307022512128/STEM/44a7b00e-c781-4b28-aa29-e8ad1cc7cff4.png?resizew=276)
(1)求证:该类型榴弹炮发射的高度不会超过25千米;
(2)求该类型榴弹炮的最大射程.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/18425dada6e1bbd4ecb100787da59216.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/7/12/2762508436004864/2764307022512128/STEM/44a7b00e-c781-4b28-aa29-e8ad1cc7cff4.png?resizew=276)
(1)求证:该类型榴弹炮发射的高度不会超过25千米;
(2)求该类型榴弹炮的最大射程.
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20-21高三下·上海浦东新·阶段练习
名校
5 . 国际上钻石的重量计量单位为克拉,已知某钻石的价值V(美元)与其重量W(克拉)的平方成正比,且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元.
(1)若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石,求价值损失的百分率;
(2)把一颗钻石切割成两颗钻石,若两颗钻石的重量分别为M克拉和N克拉,证明:当
时,价值损失的百分率最大.(注:价值损失的百分率=(原有价值-现有价值)/原有价值
,在切割过程中的重量损耗忽略不计)
(1)若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石,求价值损失的百分率;
(2)把一颗钻石切割成两颗钻石,若两颗钻石的重量分别为M克拉和N克拉,证明:当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ad96b50521f4bbf3d436d05dc258083d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bc9554a0c3b303117d91ef518abf6e3e.png)
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解题方法
6 . 在平面直角坐标系
中,将从点
出发沿纵、横方向到达点
的任一路径称为
到
的一条“折线路径”,所有“折线路径”中长度最小的称为
到
的“折线距离”.如图所示的路径
与路径
都是
到
的“折线路径”.某地有三个居民区分别位于平面
内三点
,
,
,现计划在这个平面上某一点
处修建一个超市.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2017/5/10/1683970740789248/1715263246712832/STEM/5a37f9ceff464a899e865c12f92b60c1.png?resizew=237)
(1)请写出点
到居民区
的“折线距离”
的表达式(用
表示,不要求证明);
(2)为了方便居民,请确定点
的位置,使其到三个居民区的“折线距离”之和最小.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7ee31829d0d4d5f779a957d7df8058ab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54a5d7d3b6b63fe5c24c3907b7a8eaa3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54a5d7d3b6b63fe5c24c3907b7a8eaa3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54a5d7d3b6b63fe5c24c3907b7a8eaa3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8cb9227785322ac87fe538f3164f30dc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a0d3a701135e9a11b344e2f8bff95410.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54a5d7d3b6b63fe5c24c3907b7a8eaa3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7ee31829d0d4d5f779a957d7df8058ab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/627f1578beab2071cefd6cb0278b57f7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b79485e42b7546ccfa3cd6d08491460f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7685ae8254f0b1442482c892d039ae0d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8701e0cce437edc830438b4fe6277d89.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2017/5/10/1683970740789248/1715263246712832/STEM/5a37f9ceff464a899e865c12f92b60c1.png?resizew=237)
(1)请写出点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5c02bc0c74292b1e8f395f90935d3174.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9b0fffbec1fe851795dfdd448bf0d165.png)
(2)为了方便居民,请确定点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
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真题
名校
7 . 有时可用函数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/69a593b66c2a764841e905579a5790e6.png)
描述学习某学科知识的掌握程度,其中x表示某学科知识的学习次数(
),
表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关.
(1) 证明:当
时,掌握程度的增加量
总是下降;
(2) 根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为
,
,
.当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/69a593b66c2a764841e905579a5790e6.png)
描述学习某学科知识的掌握程度,其中x表示某学科知识的学习次数(
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a96119cc3005adf559140161bd872143.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4fe7d5809da02c15a43a0e9a898b9086.png)
(1) 证明:当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0365c8d11255eabb01a9ecd04f25df18.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/184eb1e24da888656b0d0ccb9aa2dd99.png)
(2) 根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/77a2d131d384453607e550322ee11eaa.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a38bfd7cf82e6cb6ce5c5836c3c623c9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/11fa15ce73b7c9b42eed3c49a2754fd5.png)
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2016-11-30更新
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691次组卷
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14卷引用:2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(上海卷)
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(上海卷)2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(上海卷)(已下线)2010年湖北省荆州中学高一上学期期中考试理科数学卷人教版A版2017-2018学年高一必修一 第3章 3.2.2 函数模型的应用实例1数学试题福建省福州第一中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题沪教版 高一年级第一学期 领航者 第三章 每周一练(1)上海市黄浦区大同中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试题北京市海淀区中国人民大学附属中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题上海市黄浦区大同中学2021届高三上学期12月月考数学试题(已下线)课时12 函数的概念、函数关系及运算-2022年高考数学一轮复习小题多维练(上海专用)苏教版(2019) 必修第一册 过关检测 第8章 8.2.2 函数的实际应用(已下线)8.2.2函数模型的应用实例(备作业)-【上好课】2021-2022学年高一数学同步备课系列(苏教版2019必修第一册)上海市进才中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题福建省厦门第一中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题
8 . 按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为
元,如果他卖出该产品的单价为
元,则他的满意度为
;如果他买进该产品的单价为
元,则他的满意度为
.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为
和
,则他对这两种交易的综合满意度为
.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A、B的单价分别为
元和
元,甲买进A与卖出B的综合满意度为
,乙卖出A与买进B的综合满意度为![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ab852a997fd84380233493981525d2a9.png)
(1)求
和
关于
、
的表达式;当
时,求证:
=
;
(2)设
,当
、
分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?
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现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A、B的单价分别为
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(1)求
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(2)设
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