1 . 对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变．设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度．
(1)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
(2)若采用方案乙，当为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响．

2 . 某医疗机构，为了研究某种病毒在人群中的传播特征，需要检测血液是否为阳性.若现有份血液样本，每份样本被取到的可能性相同，检测方式有以下两种：
方式一：逐份检测，需检测次；
方式二：混合检测，将其中份血液样本分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，说明这份样本全为阴性，则只需检测1次；若检测结果为阳性，则需要对这份样本逐份检测，因此检测总次数为次，假设每份样本被检测为阳性或阴性是相互独立的，且每份样本为阳性的概率是.
（1）在某地区，通过随机检测发现该地区人群血液为阳性的概率约为0.8%.为了调查某单位该病毒感染情况，随机选取50人进行检测，有两个分组方案：
方案一：将50人分成10组，每组5人；
方案二：将50人分成5组，每组10人.
试分析哪种方案的检测总次数更少？
(取，，)
（2）现取其中份血液样本，若采用逐份检验方式，需要检测的总次数为；采用混合检测方式，需要检测的总次数为.若，试解决以下问题：
①确定关于的函数关系；
②当为何值时，取最大值并求出最大值.

3 . 随着现代电子技术的迅猛发展，关于元件和系统可靠性的研究已发展成为一门新的学科——可靠性理论．在可靠性理论中，一个元件正常工作的概率称为该元件的可靠性．元件组成系统，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性．现有（，）种电子元件，每种2个，每个元件的可靠性均为（）．当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路．现要用这个元件组成一个电路系统，有如下两种连接方案可供选择，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作．

（1）（i）分别写出按方案①和方案②建立的电路系统的可靠性、（用和表示）；
（ii）比较与的大小，说明哪种连接方案更稳定可靠；
（2）设，，已知按方案②建立的电路系统可以正常工作，记此时系统中损坏的元件个数为，求随机变量的分布列和数学期望．

4 . 某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案是对原有生产线进行技术改造．由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化．该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出下表：

市场销售状态		畅销	平销	滞销
市场销售状态概率
预期平均年利润（单位：万元）	方案	700	400
	方案	600	300

（1）以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？
（2）记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品”）的年产量为（万件），通过核算，实行方案时新产品的年度总成本（万元）为，实行方案时新产品的年度总成本（万元）为．已知，．若按（1）的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价（元）分别为60，，，且生产的新产品当年都能卖出去．试问：当取何值时，新产品年利润的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到预期目标．

5 . 2019年泉州市农村电商发展迅猛，成为创新农产品交易方式、增加农民收入、引导农业供给侧结构性改革、促进乡村振兴的重要力量，成为乡村振兴的新引擎.2019年大学毕业的李想，选择回到家乡泉州自主创业，他在网上开了一家水果网店.2019年双十一期间，为了增加水果销量，李想设计了下面两种促销方案：方案一：购买金额每满120元，即可抽奖一次，中奖可获得20元，每次中奖的概率为（），假设每次抽奖相互独立.方案二：购买金额不低于180元时，即可优惠元，并在优惠后的基础上打九折.
（1）在促销方案一中，设每10个抽奖人次中恰有6人次中奖的概率为，求的最大值点；
（2）若促销方案二中，李想每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的八折，求的最大值；
（3）以（1）中确定的作为的值，且当取最大值时，若某位顾客一次性购买了360元，则该顾客应选择哪种促销方案？请说明理由.

6 . 某集团为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入费t（单位:百万元），可增加销售额约为（单位:百万元）（）.
(1)该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大?
(2)该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预测，每投入技术改造费（单位:百万元），可增加的销售额为（单位:百万元）.请设计一个资金分配方案，使该公司获得的收益最大.（注:收益=销售额-投入）

8 . 石室中学社团为庆祝石室中学2166年校庆，为同学们准备了丰富多彩的游戏节目.其中某个知识答题游戏节目，共需要完成且次答题，并以累计的总分作为参考依据.若甲同学参加该游戏，且每次回答正确的概率为，回答错误的概率为，各次答题相互独立.规定第一次答题时，回答正确得20分，回答错误得10分，第二次答题时，设置了两种答题方案供选择，方案一：回答正确得50分，回答错误得0分.方案二：若回答正确，则获得上一次答题分数的两倍，回答错误得10分.从第三次答题开始执行第二次答题所选方案，直到答题结束.
(1)如果，甲选择何种方案参加比赛答题更加有利？并说明理由；
(2)若甲选择方案二，则
①记甲第次获得的分数为，期望为，求；
②若甲累计总分的期望值超过2166分，即可获得校园文创产品一份，求至少需要答题的次数.
(参考数据：；；；)

9 . 甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为，甲赢的概率为，每局游戏相互独立，在乙赢了3局甲赢了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率，并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于，则称随机事件为小概率事件）

10 . 三年多的“新冠之战”在全国人民的共同努力下刚刚取得完胜，这给我们的个人卫生和公共卫生都提出更高的要求！某机构欲组建一个有关“垃圾分类”相关事宜的项目组，对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道，该机构从名员工中进行筛选，筛选方法如下：每位员工测试，，三项工作，项测试中至少项测试“不合格”的员工，将被认定为“暂定”，有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试，两项，如果这两项中有项以上（含项）测试“不合格”，将也被认定为“暂定”，每位员工测试，，三项工作相互独立，每一项测试“不合格”的概率均为．
(1)若，求每位员工被认定为“暂定”的概率；
(2)每位员工不需要重新测试的费用为元，需要重新测试的前后两轮测试的总费用为元，所有员工除测试费用外，其他费用总计为万元，若该机构的预算为万元，且名员工全部参与测试，试估计上述方案是否会超出预算，并说明理由．