1 . 对于定义域为R的函数，如果存在常数T，，使得是以T为周期的函数，则称函数为正弦周期函数，且称常数T为的正弦周期.
已知函数满足以下四个条件：
①函数是以T为正弦周期的正弦周期函数；
②函数的值域为R；
③函数在区间上单调递增：
④，
(1)分别判断函数､是否为正弦周期函数.如果是正弦周期函数，写出它的正弦周期，（不需证明）.
(2)设，求证：对任意，存在唯一的使得.
(3)求证：对于任意的，都有.

2 . 若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列．
(1)若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由；
(2)若，判断数列是否为周期数列，并说明理由；
(3)设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”．

3 . 对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数．
(1)分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）：
①；②．
(2)若为阶梯函数，求的所有可能取值；
(3)已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有．若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为直接给出一个符合题意的a的值，并证明：存在，使得在上有4046个零点，且．

4 . （1）求证：是函数的最小正周期；
（2）已知都是实数，求证：，并且等式成立的充要条件是.

5 . 已知集合，称为的第 个分量.对于的元素，定义 与的两种乘法分别为：


给定函数，定义上的一种变换.
（1）设，求和；
（2）设，对于，设，对任意且，定义
①当时，求证：中为0的分量个数不可能是2个；
②若的任一分量都只能取或，设的第1个分量为，求的最小正周期的最小值，并求出此时所有的.

6 . 若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质．
（1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由；
（2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由；
（3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：．

7 . 英国数学家泰勒发现了公式：，瑞士大数学家欧拉凭着他非凡的数学洞察力，由此公式得到了下面的无穷级数之和，并最终给出了严格证明．
．
其发现过程简单分析如下：
当时，有，
容易看出方程的所有解为：，，，，，
于是方程可写成：，
改写成：．（*）
比较方程（*）与方程中项的系数，即可得
__________．