1 . 在一个传染病流行的群体中，通常有3类人群：
在一个600人的封闭环境中，设第n天S类，I类，R类人群人数分别为
，
，
．其中第1天
，
，
．为了简化模型，我们约定各类人群每天转化的比例参数恒定：
(1)已知对于传染病A有
，
，
．求
，；
(2)已知对于传染病B有
，
，
．
（Ⅰ）证明：存在常数p，q，使得
是等比数列；
（Ⅱ）已知防止传染病大规模传播的关键途径至少包含：①控制感染人数；②保护易感人群．请选择一项，通过相关计算说明：实际生活中，相较于传染病A需要投入更大力量防控传染病B．
| 类别 | 特征 |
| S类（Susceptible） | 易感染者，体内缺乏有关抗体，与I类人群接触后易变为I类人群． |
| I类（Infectious） | 感染者，可以接触S类人群，并把传染病传染给S类人群；康复后成为R类人群． |
| R类（Recovered） | 康复者，自愈或者经治疗后康复且体内存在相关抗体的I类人群；若抗体存在时间有限，可能重新转化为S类人群． |
，，．其中第1天，，．为了简化模型，我们约定各类人群每天转化的比例参数恒定：| S类→I类占当天S类比例 | I类→R类占当天I类比例 | R类→S类占当天R类比例 |
 |  |  |
，，．求，；(2)已知对于传染病B有
，，．（Ⅰ）证明：存在常数p，q，使得
是等比数列；（Ⅱ）已知防止传染病大规模传播的关键途径至少包含：①控制感染人数；②保护易感人群．请选择一项，通过相关计算说明：实际生活中，相较于传染病A需要投入更大力量防控传染病B．
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2 . 两个数列
、
，当和同时在
时取得相同的最大值，我们称与具有性质
，其中
.
（1）设
的二项展开式中
的系数为
（
），
，记
，
，
，依次下去，
，组成的数列是
；同样地，
的二项展开式中的系数为
（），，记
，
，，依次下去，
，组成的数列是
；判别与是否具有性质，请说明理由；
（2）数列
的前
项和是，数列
的前项和是
，若
与
具有性质，
，则这样的数列一共有多少个？请说明理由；
（3）两个有限项数列
与
满足
，，且
，是否存在实数
，使得与具有性质，请说明理由.
、，当和同时在时取得相同的最大值，我们称与具有性质，其中.（1）设
的二项展开式中的系数为（），，记，，，依次下去，，组成的数列是；同样地，的二项展开式中的系数为（），，记，，，依次下去，，组成的数列是；判别与是否具有性质，请说明理由；（2）数列
的前项和是，数列的前项和是，若与具有性质，，则这样的数列一共有多少个？请说明理由；（3）两个有限项数列
与满足，，且，是否存在实数，使得与具有性质，请说明理由.
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3 . 在平面直角坐标系上，有一点列
，设点
的坐标
（
），其中
． 记
，
，且满足
（
）．
（1）已知点
，点
满足
，求的坐标；
（2）已知点，
（），且
（）是递增数列，点
在直线
：
上，求；
（3）若点
的坐标为
，
，求
的最大值．
，设点的坐标（），其中． 记，，且满足（）． （1）已知点
，点满足，求的坐标；（2）已知点
，（），且（）是递增数列，点在直线：上，求；（3）若点
的坐标为，，求的最大值．
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2020-01-10更新
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499次组卷
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2卷引用：2017年上海市闵行区高三上学期期末教学质量调研（一模）数学试题
名校
4 . 如图，设
是由
个实数组成的行列的数表，其中
表示位于第
行第
列的实数，且
.
定义
为第s行与第t行的积. 若对于任意
（
），都有
，则称数表为完美数表.
（Ⅰ）当
时，试写出一个符合条件的完美数表；
（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；
（Ⅲ）设为行列的完美数表，且对于任意的
和
，都有
，证明：
.
是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且. |  |  |  |
 |  | |  |
 | | | |
 |  | |  |
为第s行与第t行的积. 若对于任意（），都有，则称数表为完美数表.（Ⅰ）当
时，试写出一个符合条件的完美数表；（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；
（Ⅲ）设
为行列的完美数表，且对于任意的和，都有，证明：.
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2019-04-11更新
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931次组卷
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3卷引用：【区级联考】北京市西城区2019届高三4月统一测试（一模）数学理试题
5 . 已知集合
，
,
．对于数列，
，且对于任意
，
，有
．记为数列的前项和.
(1)写出
，
的值；
(2)数列中，对于任意，存在
，使
，求数列
的通项公式；
(3)数列中，对于任意，存在
，有
.求使得
成立的
的最小值．
，,．对于数列，，且对于任意，，有．记为数列的前项和.(1)写出
，的值；(2)数列
中，对于任意，存在，使，求数列的通项公式；(3)数列
中，对于任意，存在，有.求使得成立的的最小值．
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名校
6 . 【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】已知等差数列{an}和等比数列{bn}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列， 4b2，2b3，b4成等差数列．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（i＜j＜k），使得ambj，amanbi，anbk成等差数列，求m＋n的最小值；
（3）令cn＝
，记{cn}的前n项和为Tn，{
}的前n项和为An．若数列{pn}满足p1＝c1，且对n≥2, n∈N*，都有pn＝
＋Ancn，设{pn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜4＋4lnn．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（i＜j＜k），使得ambj，amanbi，anbk成等差数列，求m＋n的最小值；
（3）令cn＝
，记{cn}的前n项和为Tn，{ }的前n项和为An．若数列{pn}满足p1＝c1，且对n≥2, n∈N*，都有pn＝＋Ancn，设{pn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜4＋4lnn．
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7 . 数列
是正整数
的任一排列，且同时满足以下两个条件：
；②当时，
(
).记这样的数列个数为
.
（Ⅰ）写出
的值；
（Ⅱ）证明
不能被4整除.
是正整数的任一排列，且同时满足以下两个条件：；②当时，().记这样的数列个数为.（Ⅰ）写出
的值；（Ⅱ）证明
不能被4整除.
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2017-11-13更新
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902次组卷
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2卷引用：北京市朝阳区2018届高三上学期期中统一考试 数学理
名校
8 . 设数列的前项和为，且满足
，为常数．
（1）是否存在数列，使得
？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．
（2）当
时，求证：
．
（3）当
时，求证：当
时，
．
的前项和为，且满足，为常数．（1）是否存在数列
，使得？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．（2）当
时，求证：．（3）当
时，求证：当时，．
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9 . 已知无穷数列
的首项
，
.
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ） 记
，为数列
的前项和，证明：对任意正整数，
.
的首项，.（Ⅰ）证明：
；（Ⅱ） 记
，为数列的前项和，证明：对任意正整数，.
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名校
10 . 已知数列
的前项积为
,即
.
(1)若数列为首项为2016,公比为
的等比数列,
①求的表达式;②当为何值时,取得最大值;
(2)当
时,数列都有
且
成立,
求证:为等比数列.
的前项积为,即.(1)若数列
为首项为2016,公比为的等比数列,①求
的表达式;②当为何值时,取得最大值;(2)当
时,数列都有且成立,求证:
为等比数列.
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2017-05-21更新
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265次组卷
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3卷引用：江苏省泰兴中学2016-2017学年高三12月阶段性检测数学试题
