1 . 已知数列具有性质：①为整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，；当为奇数时，.
（1）若为偶数，且成等差数列，求的值；
（2）设(且N)，数列的前项和为，求证：；
（3）若为正整数，求证：当(N)时，都有.

2 . 如果存在常数，使得数列满足：若是数列中的一项，则也是数列 中的一项，称数列为“兑换数列”，常数是它的“兑换系数”.
（1）若数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”，求和的值；
（2）已知有穷等差数列的项数是，所有项之和是，求证：数列是“兑换数列”，并用和表示它的“兑换系数”；
（3）对于一个不小于3项，且各项皆为正整数的递增数列，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由.

3 . 设等比数列的前项和为，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个1，构成如下的新数列：，求这个数列的前项的和；
（3）在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列（如：在与之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为；在与之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为，…以此类推），设第个等差数列的和是. 是否存在一个关于的多项式，使得对任意恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由.

4 . 已知数列的首项（是常数，且），，数列的首项，．
（1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；
（2）设为数列的前项和，且是等比数列，求实数的值；
（3）当时，求数列的最小项．

5 . （注意：在试题卷上作答无效）
已知数列中， .
（Ⅰ）设，求数列的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式成立的的取值范围.

6 . 对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数
列具有“性质”．
不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同
时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”．
（I）设数列的前项和，证明数列具有“性质”；
（II）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由；
（III）对于有限项数列：1，2，3，…，，某人已经验证当时，
数列具有“变换性质”，试证明：当”时，数列也具有“变换性质”．

7 . 已知是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列．
（1）若，是否存在，有？请说明理由；
（2）若（a、q为常数，且aq0）对任意m存在k，有，试求a、q满足的充要条件；
（3）若试确定所有的p，使数列中存在某个连续p项的和式数列中的一项，请证明．