1 . 数列的前项和为，且对任意正整数，都有；
（1）试证明数列是等差数列，并求其通项公式；
（2）如果等比数列共有2017项，其首项与公比均为2，在数列的每相邻两项与之间插入个后，得到一个新数列，求数列中所有项的和；
（3）如果存在，使不等式成立，若存在，求实数的范围，若不存在，请说明理由；

2 . 已知数集（，）具有性质：对任意的、（），与两数中至少有一个属于.
（1）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
（2）证明：，且；
（3）证明：当时，、、、、成等比数列.

3 . 已知数列，，的前n项和为．
（1）若，，求证：，其中，；
（2）若对任意均有，求的通项公式；
（3）若对任意均有，求证：．

4 . 已知是数列的前项和，对任意，都有；
（1）若，求证：数列是等差数列，并求此时数列的通项公式；
（2）若，求证：数列是等比数列，并求此时数列的通项公式；
（3）设，若，求实数的取值范围.

5 . 已知数列的前项和，且，数列满足：对于任意，有.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式，若在数列的两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列：和两项之间插入个数，使这个数构成等差数列，求；
（3）若不等式成立的自然数恰有个，求正整数的值．

6 . 设数列的前项和为，若，则称是“数列”.
（1）若是“数列”，且，，，，求的取值范围；
（2）若是等差数列，首项为，公差为，且，判断是否为“数列”；
（3）设数列是等比数列，公比为，若数列与都是“数列”，求的取值范围.

7 . 如图,一个粒子的起始位置为原点,在第一象限内于两正半轴上运动,第一秒运动到(0,1),而后它接着按图示在轴、轴的垂直方向来回运动,且每秒移动一个单位长度,如图所示,经过秒时移动的位置设为,那么经过2019秒时,这个粒子所处的位置的坐标是______.

8 . 平面直角坐标系中，为坐标原点，射线与轴正半轴重合，射线在第一象限，且与轴正半轴的夹角为，在上有点列，在上有点，已知，
（1）求点和的坐标；
（2）求的坐标；
（3）求面积的最大值，并求出此时的值.

9 . （1）在等差数列和等比数列中，，是否存在正整数，使得数列的所有项都在数列中，若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；
（2）已知当时，有，根据此信息，若对任意，都有，求的值

10 . 设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”.
（1）若数列的前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；
（2）设数列是公比为的等比数列，若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.