1 . 设数列满足，且.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和，并证明.

2 . 记数列的前n项和为，对任意正整数n，有，且．
(1)求和的值，并猜想的通项公式；
(2)证明第（1）问猜想的通项公式；
(3)设，数列的前n项和为，求证：．

3 . 已知数列的前n项和为，且满足，．
(1)判断是否为等差数列？并证明你的结论；
(2)求和；
(3)求证：．

4 . 若数列满足：存在等差数列，使得集合元素的个数为不大于，则称数列具有性质.
(1)已知数列满足，.求证：数列是等差数列，且数列有性质；
(2)若数列有性质，数列有性质，证明：数列有性质；
(3)记为数列的前n项和，若数列具有性质，是否存在，使得数列具有性质？说明理由.

5 . 已知数列中，，数列的前n项和满足：．
(1)证明；数列是等比数列，并求通项公式；
(2)设，且数列的前n项和，求证：．

6 . 已知数列的前n项和为，且满足，．
(1)数列是否为等差数列？并证明你的结论；
(2)求；
(3)求证：．

7 . 设数列的各项为互不相等的正整数，前项和为，称满足条件“对任意的，，均有”的数列为“好”数列.
(1)试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，并给出证明；
(2)已知数列为“好”数列，其前项和为.
①若，求数列的通项公式；
②若，且对任意给定的正整数，，有，，成等比数列，求证：.

8 . 已知数列的前n项和为，，，．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)令，证明：．

9 . 已知数列的前项和为，且满足.
(1)证明：.
(2)当时，求证：；
(3)是否存在常数，使得为等比数列？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.

10 . 已知正项数列的前项和为，.
(1)记，证明：数列的前项和；
(2)若，求证：数列为等差数列，并求的通项公式.