1 . 设数列的前项和为，若，且．
(1)证明数列是等差数列，并求的表达式；
(2)求数列的通项公式．

2 . 某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为，第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为．
(1)求某学生第二天选择甲餐厅就餐的概率；
(2)记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求随机变量的分布列及期望；
(3)求出的通项公式，并证明：当时，．

3 . 已知数列的前n项和为，，，，其中为常数．
(1)证明：；
(2)是否存在，使得为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

4 . 已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.

5 . 已知数列的各项均为正数且均不相等，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等比数列；②；③是等比数列．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

6 . 设为数列的前项和．已知．

(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．

7 . 设为数列的前n项和，.
(1)求；
(2)证明是等差数列.

8 . 数列中，已知（，），其中q是非零的常数.
(1)若，，求证：数列是等比数列；
(2)若，，是数列的前n项的和，求.

9 . 已知数列的前项和为，且满足.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式及.

10 . 已知为数列的前项和，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，证明：．