1 . 若数列同时满足条件：①存在互异的使得（为常数）；
②当且时，对任意都有，则称数列为双底数列.
（1）判断以下数列是否为双底数列（只需写出结论不必证明）；
①；          ②；        ③
（2）设，若数列是双底数列，求实数的值以及数列的前项和；
（3）设，是否存在整数，使得数列为双底数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.

2 . 若数列同时满足：①对于任意的正整数，恒成立；②若对于给定的正整数，对于任意的正整数恒成立，则称数列是“数列”．

(1)已知，判断数列是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列是“数列”，且存在整数，使得，，，成等差数列，证明：是等差数列．

3 . 德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半(即)；如果是奇数，则将它乘3加1(即)，不断重复这样的运算,经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明,也不能否定.现在请你研究:如果对正整数(首项)按照上述规则进行变换后的第9项为1(注：1可以多次出现),则的所有不同值的个数为

A．4

B．5

C．6

D．7

4 . 我们称满足：（）的数列为“级梦数列”.
（1）若是“级梦数列”且.求：和的值；
（2）若是“级梦数列”且满足，，求的最小值；
（3）若是“0级梦数列”且，设数列的前项和为.证明：（）.

5 . 对于数列，把作为新数列的第一项，把或（）作为新数列的第项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列的一个生成数列是．已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和．
（1）写出的所有可能值；
（2）若生成数列满足，求数列的通项公式；
（3）证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为．

6 . 已知数列满足=且=-（）.
（1）证明：1（）；

（2）设数列的前项和为，证明（）.