1 . 已知函数（为常数，）．
(1)求函数的零点个数；
(2)已知实数、、为函数的三个不同零点．
①如果，，求证；
②如果，且、、成等差数列，请求出、、的值．

2 . 设，若无穷数列满足以下性质，则称为数列：①，（且）．②的最大值为k．
(1)若数列为公比为q的等比数列，求q的取值范围，使得为数列．
(2)若数列满足：，使得成等差数列，
①数列是否可能为等比数列？并说明理由；
②记数列满足，数列满足，且，判断与的单调性，并求出时，n的值．

3 . 已知：
(1)设，求数列的通项公式；
(2)在（1）的条件下，设数列的通项公式为，且，，成等差数列，求m的值；
(3)在（1）的条件下，数列，其中设，是否存在，对于任意满足？若存在，求出；若不存在，请说明理由.

4 . 对于集合且，定义且.集合A中的元素个数记为，当时，称集合A具有性质.
(1)判断集合是否具有性质，并说明理由；
(2)设集合，且具有性质，若中的所有元素能构成等差数列，求的值；
(3)若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等差数列，问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.

5 . 将边长为1的正三角形ABC的各边都n（n∈N且n≥2）等分，过各分点作平行于其他两边的直线，将这个三角形等分成小三角形，各小三角形的顶点称为结点，在每个结点处放置了一个实数，满足以下两个条件：①A，B，C三点上放置的数分别为a，b，c；②在每个由有公共边的两个小三角形组成的菱形中，两组相对顶点上放置的和相等.

(1)当n=2，a=1，b=2，c=3时，如图1，△ABC的三个结点处放置的三个实数分别为x，y，z，那么x+y+z=___________（请直接写出答案）；
(2)当n≥3时，如图2，与△ABC的边平行的直线上的三个连续的结点上放置的数为x，y，z，那么求证：x+ z=2y.并求所有结点上最大数与最小数对应结点的距离r（规定当最大数与最小数相同时对应结点的距离为0）；
(3)求结点上所有数的和S.

6 . 若数列的前项和为，且满足等式.
（1）求数列的通项公式；
（2）能否在数列中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？说明理由；
（3）令，记函数的图像在轴上截得的线段长为，设，求，并证明：.