1 . 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数得到的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，即为，，，，．
(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当时，若，，，构成等比数列，求正整数的所有可能值；
(3)记，求证：．

2 . 为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子竞价确定购买资格”的售卖方式：统一以0元为初始竞价，通过掷骰子确定新竞价，若点数大于2，则在上一次竞价基础上增加1元更新竞价，若点数小于3，则在上一次竞价基础上增加2元更新竞价；重复上述过程，直到竞价到达20元，即获得以20元为价格的购买资格，未出现竞价为20元的情况则失去购买资格，并结束竞价．若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，准备竞买．
(1)求甲同学竞价为2元的概率；
(2)试估计甲同学获得该笔记本购买资格的概率（精确到0.01）．

3 . 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，

(1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
(2)设，定义，且记，求数列的前n项和．

4 . 数列满足：，．
（1）记，求证：数列为等比数列；
（2）记为数列的前项和，求．

5 . 设数列，，已知，，，
（1)求数列的通项公式；
（2)设为数列的前项和，对任意，若恒成立，求实数的取值范围.

6 . 已知数列满足,且
（1）求及；
(2)设求数列的前n项和

7 . 已知正项数列的前n项和为，且，，成等差数列．
证明数列是等比数列；
若，求数列的前n项和．

8 . 设数列的前项和为，且．
(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项的和．

9 . 已知数列满足，为数列的前项和．
(1)求；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)探究是否存在正整数、，使得、、成等比数列，求出所有的值．