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解题方法
1 . 数学家康托（
）在线段上构造了一个不可数点集——康托三分集.将闭区间
均分为三段，去掉中间的区间段
，余下的区间段长度为
；再将余下的两个区间
，
分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为
.以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段.重复这一过程，余下的区间集合即为康托三分集，记数列
表示第
次操作后余下的区间段长度.
（1）
_______________ ；
（2）若
，都有
恒成立，则实数
的取值范围是________________ .
）在线段上构造了一个不可数点集——康托三分集.将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，余下的区间段长度为；再将余下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为.以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段.重复这一过程，余下的区间集合即为康托三分集，记数列表示第次操作后余下的区间段长度.（1）
（2）若
，都有恒成立，则实数的取值范围是
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2023-01-05更新
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1372次组卷
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4卷引用：广东省湛江市第一中学、深圳实验学校高中部两校2023届高三上学期1月联考数学试题
名校
解题方法
2 . 平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）．它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD边长为，后续各正方形边长依次为，
，…，
，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为
，后续各直角三角形面积依次为
，
，…，
，…．则（ ）
，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，…．则（ ）
A．数列是以4为首项， 为公比的等比数列 |
B．从正方形 开始，连续 个正方形的面积之和为32 |
C．使得不等式 成立的的最大值为3 |
D．数列 的前项和 |
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2023-05-30更新
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1096次组卷
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4卷引用：山东省实验中学2023届高三第二次模拟考试数学试题
山东省实验中学2023届高三第二次模拟考试数学试题（已下线）专题18 数列中的创新题的解法 微点2 数列中的创新题综合训练（已下线）专题10 数列小题四川省成都市盐道街中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
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解题方法
3 . 2022北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，最终融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．设原正三角形（图①）的边长为3，把图二中的①，②，③，④，……图形的周长依次记为，，，
，…，得到数列．
(1)直接写出，的值；
(2)求数列的通项公式．
，，，，…，得到数列．(1)直接写出
，的值；(2)求数列
的通项公式．
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解题方法
4 . 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案.设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、②、③、④……中图形的周长依次记为
，得到数列.设数列的前项和为
，若
时，则的最小值为（ ）
（参考数据：
，
）
，得到数列.设数列的前项和为，若时，则的最小值为（ ）（参考数据：
，）
| A．5 | B．8 | C．10 | D．12 |
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2023-10-13更新
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795次组卷
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8卷引用：广东省广州市第七中学2024届高三上学期10月月考数学试题
广东省广州市第七中学2024届高三上学期10月月考数学试题广东省广州市越秀区2024届高三上学期十月月考数学试题（已下线）模块四 题型突破篇 小题满分挑战练（1）广东省东莞市嘉荣外国语学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）第三讲：特殊与一般思想【讲】 高三清北学霸150分晋级必备（已下线）考点11 由实际问题探究递推关系 2024届高考数学考点总动员（已下线）第4.3.2讲 等比数列前n项和的性质及应用（第2课时）-2023-2024学年新高二数学同步精讲精练宝典（人教A版2019选修第二、三册）（已下线）广东省佛山市第一中学2024届高三上学期第二次调研数学试题变式题1-5
解题方法
5 . 如图是一种科赫曲线，其形态似雪花，又称雪花曲线．其做法是：从一个正三角形（记为
）开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间线段为底边，分别向外作正三角形，再把此中间线段去掉，得到图形
；把的每条边三等份，以各边的中间线段为底边，向外作正三角形后，再把此中间线段去掉，得到图形
；依此下去，得到图形序列，，，
，
，，设的边长为1，图形的周长为
，若
，则n的值为________ ．（参考数据：
，
）
）开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间线段为底边，分别向外作正三角形，再把此中间线段去掉，得到图形；把的每条边三等份，以各边的中间线段为底边，向外作正三角形后，再把此中间线段去掉，得到图形；依此下去，得到图形序列，，，，，，设的边长为1，图形的周长为，若，则n的值为，）
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解题方法
6 . 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.作为当今世界十分风靡和活跃的新理论､新学科，它的出现使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在.分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还具有深刻的科学方法论意义，由此可见分形的重要性.美国物理学大师JohnWheeler曾说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人.koch雪花曲线是一种典型的分形曲线，它的制作步骤如下：
第一步：任意画一个正三角形，记为
，并把的每一条边三等分；
第二步：以三等分后的每一条边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，记所得图形为
；
第三步：把的每一条边三等分，重复第二步的制作，记所得图形为
；
同样的制作步骤重复下去，可以得到
，直到无穷，所画出的曲线叫做koch雪花曲线.
若下图中的边长为1，则图形
的周长为（ ）
第一步：任意画一个正三角形，记为
，并把的每一条边三等分；第二步：以三等分后的每一条边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，记所得图形为
；第三步：把
的每一条边三等分，重复第二步的制作，记所得图形为；同样的制作步骤重复下去，可以得到
，直到无穷，所画出的曲线叫做koch雪花曲线.若下图中
的边长为1，则图形的周长为（ ） | A．6 | B． | C． | D． |
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2023-04-23更新
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666次组卷
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5卷引用：四川省蓉城联盟2023届高三三模数学试题（理）
四川省蓉城联盟2023届高三三模数学试题（理）四川省蓉城联盟2023届高三三模数学试题（文）（已下线）第五篇 向量与几何 专题20 分形几何 微点2 分形几何综合训练四川省成都市新津区蓉城联考2023届高三下学期4月月考理科数学试题四川省成都市蓉城联盟2023届高三下学期第三次联考文科数学试题
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解题方法
7 . 《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列，的前项和分别为，，可知
，
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
，每个月老鼠的总数量为，数列，的前项和分别为，，可知，，，，则下列说法正确的是（ ）A． | B． | C． | D． |
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2023-05-04更新
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627次组卷
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7卷引用：华大新高考联盟2023届高三下学期4月教学质量测评数学试题(新教材卷)
华大新高考联盟2023届高三下学期4月教学质量测评数学试题(新教材卷)（已下线）华大新高考联盟2023届高三4月教学质量测评理科数学试题华大新高考联盟2023届高三下学期4月教学质量测评文科数学试题（老教材卷）（已下线）专题18 数列中的创新题的解法 微点2 数列中的创新题综合训练河南省许昌市鄢陵县第一高级中学2023届高三下学期高考全真模拟押题数学（文）试题河南省许昌市鄢陵县第一高级中学2023届高三下学期高考全真模拟押题数学（理）试题（已下线）第五章 数列 综合测试A（基础卷）
8 . 龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现）.例如第一代龙曲线（图1）是以
为斜边画出等腰直角三角形的直角边
、
所得的折线图，图2、图3依次为第二代、第三代龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）.
、
、
为第一代龙曲线的顶点，设第代龙曲线的顶点数为，由图可知
，
，
，则 ___________ ；数列
的前项和
___________ .
为斜边画出等腰直角三角形的直角边、所得的折线图，图2、图3依次为第二代、第三代龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）.、、为第一代龙曲线的顶点，设第代龙曲线的顶点数为，由图可知，，，则 的前项和
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解题方法
9 . “一朵雪花”是2022年北京冬奥会开幕式贯穿始终的一个设计理念，每片“雪花”均以中国结为基础造型构造而成，每一朵雪花都闪耀着奥运精神，理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1901年研究的一种分形曲线，如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分划向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.若第一个正三角形（图①）的边长为1，则第5个图形的周长为___________ .
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解题方法
10 . 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列
满足
，则称数列为牛顿数列
如果函数
，数列为牛顿数列，设
，且
，
则
___________
满足，则称数列为牛顿数列如果函数，数列为牛顿数列，设，且，则
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