1 . 已知数列的首项，且满足．
(1)证明：为等比数列；
(2)已知，为的前n项和，求．

2 . 构造数组，规则如下：第一组是两个1，即，第二组是，第三组是，…，在每一组的相邻两个数之间插入这两个数的和得到下一组．设第n组中有个数，且这个数的和为．则（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现自1，1起进行构造，第1次得到数列1，2，1，第2次得到数列1，3，2，3，1，…，第次得到数列，记，数列的前n项和为，则（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 已知数列的前n项和．
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和．

5 . 已知数列中，数列的前n项和为满足.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)在和中插入k个数构成一个新数列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，其中插入的所有数依次构成首项和公差都为2的等差数列.求数列的前50项和.

6 . 已知数列中，，且.记，求证：
（1）是等比数列；
（2）的前项和满足：.

7 . 设数列前n项和为，且其中m为实常数， 且.
（1）求证：是等比数列；
（2）若数列的公比满足且，，求证：数列 是等差数列，并求的通项公式；
（3）若时，设，求数列的前n和.

8 . 1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分，夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，将剩余的桃子吃掉一个后，也将桃子分成5等份；藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理，问：最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？