1 . 已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：.

2 . 已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若对于任意恒成立，求实数的取值范围.

3 . 已知数列满足，.
(1)证明：数列是递增数列；
(2)设数列的前n项和为，证明：.

4 . 记数列的前n项和为，已知．
(1)若，证明：是等比数列；
(2)若是和的等差中项，设，求数列的前n项和为．

5 . 设数列为等差数列，前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为，证明：．

6 . 已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，，求的前n项和．

7 . 若实数集对任何，，均有，则称具有伯努利型关系.
(1)若集合，表示自然数集，判断是否具有伯努利型关系；
(2)设集合，，若具有伯努利型关系，求非负实数的取值范围；
(3)设为正整数，利用（2）中结论证明下面不等式：.

8 . 已知数列的首项，前项和为，且，．
(1)证明：数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)设数列，求数列的前项和．

9 . 设等差数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若，求证：.

10 . 已知等差数列的前n项的和为成等差数列，且成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项的和为，试比较与的大小，并证明你的结论.