1 . 选用恰当的证明方法，证明下列不等式.
(1)已知均为正数，且，求证：；
(2)已知，求证：.

2 . 如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．
(1)证明榶水不等式；
(2)已知是三角形的三边，求证：．

3 . （1）已知，求证：；
（2）设，，均为正数，且，证明：．

4 . （1），，其中x，y均为正实数，比较a，b的大小；
（2）证明：已知，且，求证：.

5 . （1）已知均为正数，且，求证：；
（2）根据生活常识“淡糖水再加糖会更甜”，请给出类似第（1）小题的命题，并予以证明；
（3）证明：中，.(可直接应用第（1）；（2）小题的结论)

6 . （1）已知，求证：；
（2）若x，y都是正实数，且，用反证法证明：与中至少有一个成立.

7 . （1）已知，，，证明：；
（2）证明：当，时，有.

8 . 均值不等式可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为：．
(1)证明不等式：.上面给出的均值不等式链是二元形式，其中指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数（无需证明）
(2)若一个直角三角形的直角边分别为，斜边，求直角三角形周长的取值范围．

9 . 已知，求证：的充要条件是．

10 . （1）比较与的大小；
（2）已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖，并假设全部溶解)，糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.