21-22高一·湖南·课后作业
解题方法
1 . 证明不等式：
(1)若
，
，
，
都是正数，求证：
；
(2)若，，是非负实数，则
；
(3)若，是非负实数，则
；
(4)若，
，则
．
(1)若
，，，都是正数，求证：；(2)若
，，是非负实数，则；(3)若
，是非负实数，则；(4)若
，，则．
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14-15高一上·湖南张家界·期末
解题方法
2 . 设函数
满足
且
．
（1）求证
，并求
的取值范围；
（2）证明函数
在
内至少有一个零点；
（3）设
是函数的两个零点，求
的取值范围．
满足且．（1）求证
，并求的取值范围；（2）证明函数
在内至少有一个零点；（3）设
是函数的两个零点，求的取值范围．
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解题方法
3 . 我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组
表示；三维空间向盘可用三元有序数组
表示．一般地，
维空间向量用元有序数组
表示，其中
称为空间向量的第
个分量，为这个分量的下标．对于
维空间向量，定义集合
．记
的元素的个数为
（约定空集的元素个数为0）．
(1)若空间向量
，求
及
；
(2)对于空间向量．若
，求证：
，若
，则
；
(3)若空间向量
的坐标满足
，当
时，求证：
．
表示；三维空间向盘可用三元有序数组表示．一般地，维空间向量用元有序数组表示，其中称为空间向量的第个分量，为这个分量的下标．对于维空间向量，定义集合．记的元素的个数为（约定空集的元素个数为0）．(1)若空间向量
，求及；(2)对于空间向量
．若，求证：，若，则；(3)若空间向量
的坐标满足，当时，求证：．
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名校
解题方法
4 . 设连续函数
的定义域为
，如果对于内任意两数，都有
，则称为上的凹函数；若
，则称为凸函数.若是区间上的凹函数，则对任意的
，有琴生不等式
恒成立（当且仅当
时等号成立）.
(1)证明：
在
上为凹函数；
(2)设
，且
，求
的最小值；
(3)设
为大于或等于1的实数，证明：
.（提示：可设
）
的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为凸函数.若是区间上的凹函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.(1)证明：
在上为凹函数；(2)设
，且，求的最小值；(3)设
为大于或等于1的实数，证明：.（提示：可设）
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名校
解题方法
5 . 如果函数
满足以下两个条件，我们就称为
型函数．
①对任意的
，总有
；
② 当
时，总有
成立．
(1)记
，求证：
为型函数；
(2)设，记
，若
是型函数，求的取值范围；
(3)是否存在型函数
满足：对于任意的
，都存在
，使得等式
成立？请说明理由．
满足以下两个条件，我们就称为型函数．①对任意的
，总有；② 当
时，总有成立．(1)记
，求证：为型函数；(2)设
，记，若是型函数，求的取值范围；(3)是否存在
型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立？请说明理由．
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2024-01-10更新
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421次组卷
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2卷引用：湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一下学期第一次月考（4月）数学试题
解题方法
6 . 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于
，而且这个比值越大，采光效果越好.
(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为
，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请证明你的结论.
，而且这个比值越大，采光效果越好.(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为
，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请证明你的结论.
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2023-10-14更新
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105次组卷
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2卷引用：湖南省湘西州花垣县民族中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题
名校
解题方法
7 . （1）设，，，均为正数，
且
，证明：
；
（2）已知
，
且
，比较
和
的大小.
，，，均为正数，且，证明：；（2）已知
，且，比较和的大小.
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2023-10-13更新
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67次组卷
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2卷引用：湖南省部分学校2023-2024学年高一上学期10月联考数学试题
名校
解题方法
8 . （1）已知
，求
的取值范围.
（2）设
，证明：
，求的取值范围.（2）设
，证明：
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解题方法
9 . 已知函数
，
．
(1)比较，
的大小，并说明理由；
(2)已知函数的两个零点为
，
，证明：
．
，．(1)比较
，的大小，并说明理由；(2)已知函数
的两个零点为，，证明：．
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名校
10 . 已知，，
．
(1)求
的最小值；
(2)求证：
．
，，．(1)求
的最小值；(2)求证：
．
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2022-10-10更新
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893次组卷
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5卷引用：湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题
