1 . 如图1是一张长方形铁片，，，，分别是，的中点，，分别在边，上，且，将它卷成一个圆柱的侧面图2，使与重合，与重合.

(1)求证：平面；
(2)求几何体的体积.

2 . 如图，已知，分别是圆台上下底面圆的直径（，为上下底面圆的圆心），直线与所成的角为.

（1）求证：；
（2）若，，圆台的母线长为，求四面体的体积.

3 . 如图1是一个正方形和一副直角三角板（常用的文具哟），其中，，将AD与、BC与分别重合，并将两个三角板翻起，使点与点重合于点P，得一几何体如图2.

(1)证明：直线AD⊥直线PC；
(2)求平面PAB与平面PCD的夹角的正弦值；
(3)在正方形面ABCD范围内有以圆心为D、半径为2的一段圆弧，则在该段圆弧上，是否存在点Q使得异面直线PC与DQ所成的角是，试说明你的理由．

4 . 如图，在正三棱柱中，点D为棱BC的中点，，．

(1)证明：；
(2)若点E为棱AB上一点，且满足______，求二面角的正弦值．
从①；②这两个条件中任选一个填入上面的横线上，并解答问题．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

5 . 如图所示为一个半圆柱，为其轴截面，E为半圆弧上的任意点（异于C、D两点）．

(1)求证：不论E在何处总有
(2)已知，，，求二面角的余弦值．

6 . 如图所示，点P在圆柱的上底面圆周上，四边形为圆柱的下底面的内接四边形，且为圆柱下底而的直径，为圆柱的母线，且，圆柱的底面半径为1.

（1）证明：；
（2），B为的中点，点Q在线段上，记，当二面角的余弦值为时，求的值.

7 . 在直角梯形ABCD中，如图(1)，AB//CD，AB=1，BC=2，点P在线段CD上，且AP⊥CD.现将面APD沿AP翻折成如图(2)所示的四棱锥D-ABCP，且平面APD⊥平面ABCP，点Q在线段BC上.

(1)若Q是BC的中点，证明：AQ⊥DQ；
(2)若在(1)的条件下，二面角Q-AD-P的余弦值为，求三棱锥P-ADQ的体积.

8 . 如图，三角形是半圆锥的一个轴截面，，，四棱锥的底面为正方形，且与半圆锥的底面共面.

(1)若为半圆锥的底面半圆周上的一点，且，证明：；
(2)在半圆锥的底面半圆周上确定点的位置，使母线与平面所成角的正弦值为.

9 . 在正三棱台中，是边长为的等边三角形，且.已知，，，分别是线段，的中点，当直线上一动点在射线上时，，.

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)连接，，已知点在平面投影是，平面是一个分别以，作为，轴的复平面，.当时，请直接写出的虚部（不要求写出过程）.

10 . 已知是平面的一条斜线且B为斜足，设的射影是，而l是与平面平行的一条直线.判断下列命题是否成立，并用空间向量证明：
(1)当时，；
(2)当时，.