1 . 已知函数.
（1）设是图象上的两点，直线斜率存在，求证：；
（2）求函数在区间上的最大值.

2 . 给定抛物线上点.
（1）求过点且与该抛物线相切的直线的方程；
（2）过点作动直线与该抛物线交于两点（都与不重合），设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

3 . 已知过原点的一条直线与函数的图象交于、两点，分别过点、作轴的平行线与函数的图象交于、两点.
（1）证明：点、和原点在同一直线上；
（2）当平行于轴时，求点的坐标.

4 . 已知抛物线的焦点是，准线是.
（Ⅰ）写出的坐标和的方程；
（Ⅱ）已知点，若过的直线交抛物线于不同的两点，（均与不重合），直线，分别交于点，.求证：.

5 . 如图，已知直线与椭圆交于两点.过点的直线与垂直，且与椭圆的另一个交点为.

（1）求直线与的斜率之积；
（2）若直线与轴交于点，求证：与轴垂直.

6 . 已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，且过点，直线与椭圆交于两点（两点不是左右顶点），若直线的斜率为时，弦的中点在直线上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若在椭圆上有相异的两点（三点不共线），为坐标原点，且直线，直线，直线的斜率满足，求证：是定值.

7 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆交于、两点，，为椭圆上任意一点，且的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的上顶点作两条不同的直线，分别交椭圆于另一点和（异于），若直线、的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.

8 . 设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点F₁的直线交椭圆E于A，B两点.若椭圆E的离心率为，三角形ABF₂的周长为4.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线.

9 . 如图，在平面直角坐标系中，A，B是圆O：与x轴的两个交点（点B在点A右侧），点，x轴上方的动点P使直线，，的斜率存在且依次成等差数列.

（1）求证：动点P的横坐标为定值；
（2）设直线，与圆O的另一个交点分别为S，T.求证：点Q，S，T三点共线.

10 . 已知点，点P在直线上运动，请点Q满足，记点Q的为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设，过点D的直线交曲线C于A，B两个不同的点，求证：.