1 . 已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆的短轴长为，离心率为. 点为椭圆上的一个动点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，设，.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：为定值；
(3)已知，用表示的面积，并求出的最大值.

3 . 已知椭圆的长轴长为4，一个焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交于两点，使得，求证：直线恒过一定点．

4 . 设为椭圆的左、右焦点，直线l过交椭圆于A，B两点．试从① 若点M，N在该椭圆上且关于原点对称，P为该椭圆上异于M，N的一点，且；②的周长为8；③的最小值为8这三个条件中选择一个作为已知条件，并解答问题．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)是否存在直线l，使得的重心为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

5 . 设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，且满足，若三角形（为坐标原点）的面积是三角形的面积的倍，求直线的方程．

6 . 已知椭圆C：的离心率，短半轴长为.
(1)求椭圆C的方程．
(2)已知过定点的直线l与椭圆交于两点，且与直线x交于点，如果，，那么是否为定值？若是，求出具体数值；若不是，请说明理由．

7 . 已知抛物线的焦点F是椭圆的右焦点，抛物线C与椭圆E在第一象限的交点P的横坐标为，．
(1)求抛物线C与椭圆E的标准方程；
(2)若，分别是椭圆E的左、右顶点，M，N是椭圆E上不同于，的两点，直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线MN过定点．

8 . 已知椭圆以原点为中心，焦点在轴上，长半轴的长为6，离心率为，则椭圆的标准方程__________.

9 . 如图，已知椭圆（）的左，右顶点分别为，，椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的最大距离为，为坐标原点.

   

(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线，与椭圆分别交于点，，其中，
①证明：直线过定点，并求出定点坐标；
②求面积的最大值.

10 . 已知椭圆：与椭圆：的离心率相等，的焦点恰好为的顶点，圆分别经过，的一个顶点.
(1)求，的标准方程.
(2)过上任意一点A作的切线与交于点M，N，点B是上与M，N不重合的一点，且（点O为坐标原点），判断点是否在定圆上.若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.