1 . 若中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，焦距长为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为的直线经过椭圆的左焦点，与椭圆相交于两点，求的面积．

2 . 已知椭圆的左，右焦点分别为，且与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线分别交椭圆于，且分别是弦的中点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：直线过定点；
(3)求面积的最大值.

3 . 已知椭圆的左焦点与短轴两端点的连线及短轴构成等边三角形，且椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)不经过点的直线与椭圆相交于，两点，关于原点的对称点，直线，与轴分别交于，两点，求证：.

4 . 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上.
（1）求的方程；
（2）过点分别作两条相互垂直的直线，，且与的另一交点为，与的另一交点为，，垂足为点.平面内是否存在一点到点的距离为定值，若存在，则求出点的坐标；若不存在，则说明理由.

5 . 已知椭圆，，为椭圆的左、右顶点，点，连接交椭圆于点，为直角三角形，且
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于另一点，线段的垂直平分线与轴的交点满足，求点的坐标.

6 . 椭圆：过点，且右焦点为，过的直线与椭圆相交于、两点．设点，记、的斜率分别为和．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果直线的斜率等于，求出的值；
（3）探讨是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出的取值范围.