1 . 已知椭圆C的中心在原点O、对称轴为坐标轴，、是椭圆上两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆C的左、右顶点分别为和，M，N为椭圆上异于、的两点，直线MN不过原点且不与坐标轴垂直．点M关于原点的对称点为S，若直线与直线相交于点T．
（i）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的最小值；
（ii）证明：直线OT与直线MN的交点在定直线上．

2 . 已知椭圆经过点.
(1)求的标准方程；
(2)过点的直线交于两点（点在点的上方），的上､下顶点分别为，直线与直线交于点，证明：点在定直线上.

3 . 已知椭圆经过点和．
(1)求的方程；
(2)若点（异于点）是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标．

5 . 已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为2，点为轴上一定点，点为上一动点，当轴时，的面积为.
(1)求的标准方程；
(2)斜率为2的动直线与交于不同的两点，直线与的另外一个交点分别为，证明：直线恒过某一定点.

6 . 已知，分别是椭圆：的左，右顶点，为椭圆上的点，直线，的斜率之积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于，两点，且直线与相交于点，若点在直线上，证明：直线过定点．

7 . 椭圆的左，右焦点分别为，，右上顶点分别为，，离心率为，点在椭圆上
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，在椭圆上，且．记直线，的斜率分别为，，求证：为定值．

8 . 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，若一条斜率不为0的直线过点与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．

9 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭圆经过点，

(1)求椭圆的方程；
(2)若是椭圆上不同于点的两个动点，直线与轴围成底边在轴上的等腰三角形，证明：直线的斜率为定值．

10 . 已知椭圆的左、右顶点分别为为上一点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且．
(1)求的标准方程；
(2)若为上异于的点，且直线过点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．