1 . 设,分别为椭圆:的左､右焦点,已知椭圆上的点到焦点,的距离之和为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作直线交椭圆于,两点,线段的中点为,连结并延长交椭圆于点(为坐标原点),若,,等比数列,求线段的方程.

2 . 已知椭圆经过点，且两个焦点，的坐标依次为和．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设E，F是椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，直线OE的斜率为，直线OF的斜率为，若，证明：直线EF与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程．

3 . 设椭圆C：过点（0，4），离心率为.
（1）求C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

4 . 设点在以，为焦点的椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）经过作直线交于两点，交轴于，若，，且，求.

5 . 已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与轴的非负半轴交于点，过点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点，两点，连接，求的面积的最大值．

6 . 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆经过点，
(1)求椭圆的方程；
(2)设不与坐标轴平行的直线交椭圆于两点，，记直线在轴上的截距为，求的最大值.

7 . 已知长方形，，，以的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求以，为焦点，且过，两点的椭圆的标准方程；
(2)在（1）的条件下，过点作直线与椭圆交于不同的两点、，设，点坐标为，若，求的取值范围.

8 . 已知椭圆的右焦点，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点，当直线经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，线段上是否存在点，使得.若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.

9 . 如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，直线交椭圆于两个不同点．
（1）求椭圆的方程；     
（2）求的取值范围．