1 . 已知双曲线的方程为：，其左右顶点分别为：，，一条垂直于轴的直线交双曲线于，两点，直线与直线相交于点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点的直线，与轨迹交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，试探讨是否为定值.若为定值，求出定值，否则说明理由.

2 . 如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切，与圆外切．

(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)过直线上的点作圆的两条切线，设切点分别是，，若直线与轨迹交于，两点，求的取值范围．

3 . 有一种画椭圆的工具如图1所示.定点是滑槽的中点，短杆绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，.当栓子在滑槽内做往复运动时，带动绕转动一周(不动时，也不动)，处的笔尖画出的曲线记为.以为原点，所在的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系.

（1）求曲线的方程；
（2）在平面直角坐标系中，过点的动直线与曲线交于､两点，是否存在异于点的定点，使得平分？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由.

4 . 已知平面直角坐标系内两定点，及动点，的两边所在直线的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设是轴上的一点，若（1）中轨迹上存在两点使得，求以为直径的圆面积的取值范围.

5 . 已知定圆，圆心为；动圆过点且与圆相切，圆心的坐标为，且，它的轨迹记为
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)过一点作两条互相垂直的直线与曲线分别交于点和，试问这两条直线能否使得向量与互相垂直？若存在，求出点的横坐标，若不存在，请说明理由

6 . 已知圆的方程为，点，点M为圆上的任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点N.
（1）求点N的轨迹C的方程.
（2）已知点，过点A且斜率为k的直线交轨迹C于两点，以为邻边作平行四边形，是否存在常数k，使得点B在轨迹C上，若存在，求k的值；若不存在，说明理由.

7 . 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，以为直径的动圆内切于圆.

（1）求椭圆的方程；
（2）延长交椭圆于点，求面积的最大值.

8 . 已知，，曲线上任意一点P满足直线AP与直线BP的斜率之积为.
（1）求曲线的标准方程；
（2）已知直线l过（与x轴不重合）且交于M，N两点过F且垂直于直线l的直线m交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

9 . 已知圆F₁：(x+1)²+y²=r²(1≤r≤3)，圆F₂：(x-1)²+y²= (4-r)²．
（1）证明：圆F₁与圆F₂有公共点，并求公共点的轨迹E的方程；
（2）已知点Q(m，0)(m<0)，过点E斜率为k(k≠0）的直线与（Ⅰ）中轨迹E相交于M，N两点，记直线QM的斜率为k₁，直线QN的斜率为k₂，是否存在实数m使得k(k₁+k₂)为定值？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

10 . 已知圆：，圆：，动圆与圆和圆均内切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）过点的直线与轨迹交于，两点，过点且垂直于的直线交轨迹于两点，两点，求四边形面积的最小值.