1 . 设动点P到两定点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．

(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
(2)如图，过点的直线与双曲线C的右支交于 两点．问：是否存在，使是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

2 . 如图，双曲线的离心率为，分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且．

(1)求双曲线的方程；
(2)设和是x轴上的两点过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线交双曲线于另一点E．证明：直线垂直于x轴．

3 . 在平面直角坐标系中，已知双曲线.
（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2，求过M点的坐标；
（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的
面积；
（3）设斜率为的直线l2交C于P、Q两点，若l与圆相切，
求证：OP⊥OQ；

4 . 设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．
（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；
（2）过点作直线交双曲线的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点．