1 . （1）已知定点、，动点N满足（O为坐标原点），，，，求点P的轨迹方程.

（2）如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点P在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，

（ⅰ）设直线的斜率分别为，求证：为定值；
（ⅱ）当P点运动时，以为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．

2 . 设动点P到两定点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．

(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
(2)如图，过点的直线与双曲线C的右支交于 两点．问：是否存在，使是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

3 . 如图，双曲线的离心率为，分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且．

(1)求双曲线的方程；
(2)设和是x轴上的两点过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线交双曲线于另一点E．证明：直线垂直于x轴．

4 . 已知动圆过点，并且与圆外切，设动圆的圆心的轨迹为．
(1)求曲线的方程；
(2)过动点作直线与曲线交于，两点，当为的中点时，求的值；
(3)过点的直线与曲线交于，两点，设直线，点，直线交于点，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.

5 . 动圆与圆相内切，且恒过点.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知垂直于轴的直线交于、两点，垂直于轴的直线交于、两点，与的交点为，且，证明：存在两定点、，使得为定值，求出、的坐标.

6 . 已知，且，圆，点，是圆上的动点，线段的垂直平分线交直线于点，点的轨迹为曲线.
（1）讨论曲线的形状，并求其方程；
（2）若，且面积的最大值为，直线过点且不垂直于坐标轴，与曲线交于，点关于轴的对称点为．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

7 . 设动点到点和的距离分别为，且存在常数，使得.证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程.

8 . 已知双曲线经过点，两个焦点为，．
（1）求的方程；
（2）设是上一点，直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：当点在上移动时，为定值，并求此定值．

9 . 在如图所示的等腰梯形中，，，以点和点为焦点，过点和点的椭圆的长轴长是，以点和点为焦点，过点和点的双曲线的实轴长是，试用两种方法证明:

10 . 已知双曲线方程为：，左、右焦点分别为、，其中，其中，，为定值，且，，，为双曲线上的一个动点．
（1）设点的横坐标为，用来表示的值；
（2）作的内切，且圆心坐标为，求证：为定值；