1 . 已知抛物线的焦点为F，若的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”．
(1)设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为2，求直线的方程；
(2)已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于2．

2 . 已知过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点．
(1)证明：；
(2)设为抛物线的焦点，直线与直线交于点，直线交抛物线与两点（在轴的同侧），求直线与直线交点的轨迹方程．

3 . 已知点在抛物线上，且到的焦点的距离与到轴的距离之差为.
(1)求的方程；
(2)当时，是上不同于点的两个动点，且直线的斜率之积为为垂足.证明：存在定点，使得为定值.

5 . 如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于不同两点，为拋物线上任意一点（与不重合），直线分别交抛物线的准线于点.

（Ⅰ）写出焦点的坐标和准线的方程；
（Ⅱ）求证：.

6 . 已知抛物线的焦点为,过抛物线上的动点（除顶点外）作的切线交轴于点.过点作直线的垂线（垂足为）与直线交于点.
（Ⅰ）求焦点的坐标；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求线段的长.

7 . 已知抛物线C：y²＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．

8 . 已知椭圆:的左、右有顶点分别是、,上顶点是,圆:的圆心到直线的距离是,且椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程;
(2)平行于轴的动直线与椭圆和圆在第一象限内的交点分别为、,直线、与轴的交点记为,．试判断是否为定值,若是,证明你的结论．若不是,举反例说明．

9 . 已知抛物线的焦点为，过点作一条直线与抛物线交于、两点．
(1)求以点为圆心，且与直线相切的圆的方程；
(2)从、、、、、中取出三个量，使其构成等比数列，并予以证明．

10 . 已知圆C过定点，圆心C在抛物线上，M，N为圆C与x轴的交点．
（1）当圆心C是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长．
（2）当圆心C在抛物线上运动时，是否为一定值？请证明你的结论．
（3）当圆心C在抛物线上运动时，记，求的最大值，并求出此时圆C的方程．