1 . 已知椭圆的两个焦点分别为，长轴长为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，若点满足，求证：由点 构成的曲线关于直线对称．

2 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为4，离心率为.过右焦点的直线交椭圆于两点（均不与重合），记直线的斜率分别为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在常数，当直线变动时，总有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

3 . 如图，已知椭圆，分别为其左、右焦点，过的直线与此椭圆相交于两点，且的周长为8，椭圆的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系中，已知点与点，过的动直线（不与轴平行）与椭圆相交于两点，点是点关于轴的对称点．求证：
（i）三点共线．
（ii）．

4 . 已知椭圆G:，左、右焦点分别为、，若点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于两个不同的点，，直线，与轴分别交于，两点，求证：．

5 . 已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．
（Ⅰ）求椭圆的离心率及左焦点的坐标；
（Ⅱ）求证：直线与椭圆相切；
（Ⅲ）判断是否为定值，并说明理由．

6 . 已知椭圆的右焦点为，离心率为 ，直线：与椭圆交于不同两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：直线的倾斜角与直线的倾斜角互补．

7 . 已知点和椭圆. 直线与椭圆交于不同的两点.   

(Ⅰ) 求椭圆的离心率；

(Ⅱ) 当时，求的面积；

（Ⅲ）设直线与椭圆的另一个交点为，当为中点时，求的值 .

8 . 已知椭圆的离心率为，点在椭圆D上．
（1）求椭圆D的标准方程；
（2）过y轴上一点E（0，t）且斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，设直线OA，OB（O为坐标原点）的斜率分别为k_OA，k_OB，若对任意实数k，存在λ∈[2，4]，使得k_OA+k_OB=λk，求实数t的取值范围．

9 . 已知椭圆左顶点为，上顶点为，直线的斜率为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，与轴交于点，以线段为对角线作正方形，若．
（i）求椭圆方程；
（ii）若点在直线上，且满足，求使得最长时，直线的方程．

10 . 设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称.
（Ⅰ）求椭圆的方程；       
（Ⅱ）过右焦点的直线与椭圆相交于两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.