1 . 设椭圆的左顶点为、中心为，若椭圆过点，且．

（1）求椭圆的方程；
（2）若的顶点也在椭圆上，试求面积的最大值；
（3）过点作两条斜率分别为，的直线交椭圆于，两点，且，求证：直线恒过一个定点．

2 . 如图，以椭圆（）的右焦点为圆心，为半径作圆（其中为已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点作此圆的切线，切点为.

（1）若，为椭圆的右顶点，求切线长；
（2）设圆与轴的右交点为，过点作斜率为（）的直线与椭圆相交于、两点，若恒成立，且.求：
（ⅰ）的取值范围；
（ⅱ）直线被圆所截得弦长的最大值.

3 . 已知椭圆M的方程是，直线与椭圆M交于A、B两点，且椭圆M上存在点满足，求 的值.

4 . 已知椭圆E的方程为右焦点为,直线的倾斜角为直线与圆相切于点Q,且点Q在轴右侧,设直线交椭圆E于两个不同点A、B.

(1)求直线的方程；
(2)求△ABF的面积.

5 . 给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴椭圆”，若椭圆右焦点坐标为，且过点.
（1）求椭圆的“伴椭圆”方程；
（2）在椭圆的“伴椭圆”上取一点，过该点作椭圆的两条切线、，证明：两线垂直；
（3）在双曲线上找一点作椭圆的两条切线，分别交于切点、使得，求满足条件的所有点的坐标.

6 . 已知椭圆的焦点和上顶点分别为我们称为椭圆C的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知椭圆的一个焦点为且椭圆上的任意一点到两焦点的距离之和为4.

(1)若椭圆与椭圆相似,且相似比为2,求椭圆的方程；
(2)如图，直线与两个“相似椭圆”和分别交于点A、B和点C、D,证明:

7 . 已知椭圆:的左、右点分别为点在椭圆上，且
(1)求椭圆的方程；
(2)过点(1,0)作斜率为的直线交椭圆于M、N两点，若求直线的方程；
(3)点P、Q为椭圆上的两个动点，为坐标原点，若直线的斜率之积为求证:为定值.

8 . 在平面直角坐标系中，点到两点、的距离之和等于，设点的轨迹为，斜率为的直线过点，且与轨迹交于、两点.
（1）写出轨迹的方程；
（2）如果，求的值；
（3）是否存在直线，使得在直线上存在点，满足为等边三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

9 . 如图，两条相交线段、的四个端点都在椭圆上，其中直线的方程为，直线的方程为.

（1）若，，求的值；
（2）探究：是否存在常数，当变化时，恒有？

10 . 已知椭圆的中心为原点，长轴在轴上，左顶点为，上、下焦点分别为，线段的中点分别为，且是斜边长为的直角三角形.
（1）若点在椭圆上，且为锐角，求的取值范围；
（2）过点作直线交椭圆于点，且，求直线的方程.