1 . 阿基米德(公元前287年-公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家､物理学家，也是著名的数学家.他曾利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率乘以椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积在直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于不同的两点A，B.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求面积的最大值；
（3）设椭圆E的左､右顶点分别为P，Q，直线PA与直线交于点，试问B，Q，F三点是否共线？若共线，请证明；若不共线，请说明理由.

2 . 已知椭圆，右焦点为，动直线与圆相切于点，与椭圆交于、两点，其中点在轴右侧.

（1）若直线过点，求椭圆方程；
（2）求证：为定值.

3 . 已知直线、与曲线分别相交于点、和、，我们将四边形称为曲线的内接四边形．
（1）若直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，求的值；
（2）若直线，与圆分别交于点、和、，求证：四边形为正方形；
（3）求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．

4 . （1）若动点到定点的距离与到定直线：的距离之比为，求证：动点的轨迹是椭圆；
（2）设（1）中的椭圆短轴的上顶点为，试找出一个以点为直角顶点的等腰直角三角形，并使得、两点也在椭圆上，并求出的面积；
（3）对于椭圆(常数)，设椭圆短轴的上顶点为，试问：以点为直角顶点，且、两点也在椭圆上的等腰直角三角形有几个？

5 . 已知椭圆经过点，其左焦点为.过点的直线交椭圆于、两点，交轴的正半轴于点.

（1）求椭圆的方程；
（2）过点且与垂直的直线交椭圆于、两点，若四边形的面积为，求直线的方程；
（3）设，，求证：为定值.

6 . 已知椭圆上两个不同的点、关于直线对称．

（1）若已知，为椭圆上动点，证明：；
（2）求实数的取值范围；
（3）求面积的最大值（为坐标原点）．

7 . 已知曲线，直线经过点与相交于、两点.

(1)若且，求证：必为的焦点；
(2)设，若点在上，且的最大值为，求的值；
(3)设为坐标原点，若，直线的一个法向量为，求面积的最大值.