1 . 已知椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率.过的直线交椭圆于、两点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.求证：以为直径的圆恒过一定点.并求出点的坐标.

2 . 以椭圆的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，．
(1)求椭圆及其“准圆”的方程；
(2)若椭圆的“准圆”的一条弦（不与坐标轴垂直）与椭圆交于两点，当时，试问弦的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

3 . 椭圆（）的离心率是，点在短轴上，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由

4 . 已知椭圆的两个焦点分别为,以椭圆短轴为直径的圆经过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线与椭圆相交于两点,设点,直线的斜率分别为,问是否为定值?并证明你的结论.

5 . 下列命题正确的有___________
①已知A,B是椭圆的左右两个顶点, P是该椭圆上异于A,B的任一点,则．
②已知双曲线的左顶点为A₁，右焦点为F₂，P为双曲线右支上一点，则的最小值为－2．
③若抛物线:的焦点为，抛物线上一点和抛物线内一点，过点Q作抛物线的切线，直线过点且与垂直，则平分；
④已知函数是定义在R上的奇函数,, 则不等式的解集是．

6 . 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．

（1）求椭圆方程；
（2）点在圆上，在第一象限，过作圆的切线交椭圆于两点，问是否为定值?如果是，求出定值，如不是，说明理由．

7 . 已知为坐标平面上的动点，且直线与直线的斜率之积为常数.
(1)求点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？
(2)若, 点的轨迹为曲线，过点斜率为的直线与曲线交于不同的两点，中点为，直线(为坐标原点)的斜率为，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，设，且，求在轴上的截距的变化范围.

8 . 已知椭圆C:（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（－，0）、F₂（，0）.点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点N的坐标为（3，2），点P的坐标为（m，n）（m≠3）.过点M任作直线l与椭圆C相交于A、B两点，设直线AN、NP、BN的斜率分别为k₁、k₂、k₃，若k₁＋k₃＝2k₂，试求m，n满足的关系式.

9 . 已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到右焦点的最近距离为，若椭圆与轴交于两点，是椭圆上异于的任意一点，直线交直线于点，直线交直线于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）试探求以为直径的圆是否恒经过轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

10 . 椭圆的两个焦点为、，是椭圆上一点，且满．
（1）求离心率的取值范围；
（2）当离心率取得最小值时，点到椭圆上点的最远距离为.
①求此时椭圆的方程；
②设斜率为的直线与椭圆相交于不同两点、，为的中点，问：、两点能否关于过点、的直线对称？若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由.