1 . 已知双曲线与点.
(1)求过点的弦，使得的中点为；
(2)在（1）的前提下，如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，证明：、、、四点共圆.

2 . 已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点.
(1)求C的标准方程；
(2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

3 . 已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；
(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由

4 . 已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，且双曲线过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于，两点，线段中点的横坐标为，求线段的长．

5 . 已知直线与圆相切于点T，且与双曲线相交于两点．若T是线段的中点，求直线的方程．

6 . 已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为．
（1）求双曲线C的方程．
（2）经过点M（2，1）作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长．

7 . 已知，，边所在直线的斜率之积为定值，
(1)求动点的轨迹方程；
(2)当时，过点的直线与曲线相交于、两点，求、两点的中点的轨迹方程.